Funzione di variabile reale

funzione avente per dominio un sottoinsieme dei numeri reali
Grafico di una funzione

Una funzione di variabile reale è una funzione nel senso più comune del termine, cioè una legge che agisce sui numeri (reali) e li trasforma in altri numeri reali. Più precisamente, una tale funzione si presenta come definita sul dominio o un suo sottoinsieme e a valori sempre reali.

Se consideriamo invece come dominio il prodotto cartesiano di due, tre, volte, otteniamo una funzione (ad esempio la funzione che calcola la somma di due numeri, o il loro prodotto) che prende come argomento non uno solo, ma due, tre, numeri reali e li trasforma in un unico numero reale. Si dice dunque che l'argomento della funzione è una -upla di numeri reali, o un vettore di .

Rappresentazione di un campo vettoriale

Si può ulteriormente separare il discorso, considerando adesso funzioni che hanno come output non uno, bensì più numeri reali: la funzione che dati due interi restituisce il loro quoziente e resto ha due argomenti e due uscite, cioè un vettore di . Si parlerà dunque di funzioni scalari se il codominio è un sottoinsieme di , di funzioni vettoriali se il codominio è un sottoinsieme di per un certo . In particolare, si dirà campo vettoriale una funzione da (un sottoinsieme di) (con ) in stesso.

In generale abbiamo dunque quattro situazioni possibili (considerando ):

  • : la situazione più classica;
  • : una funzione scalare in variabili;
  • : una funzione vettoriale di una variabile (ad esempio quella che dato un numero restituisce parte intera e parte frazionaria);
  • : una funzione vettoriale in variabili.

Le funzioni (scalari) di una variabile reale si classificano in:

  • funzioni algebriche;
  • funzioni trascendenti.

Funzioni algebricheModifica

Si chiama funzione algebrica una funzione costruita attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni dell'aritmetica e dell'elevamento a potenza.

Una sottoclasse molto importante è data dalle funzioni polinomiali, cioè quelle il cui valore coincide punto per punto con il valore assunto da un determinato polinomio; in altre parole, fissato il valore della variabile indipendente  , è possibile determinare il rispettivo valore   applicando un numero finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica. Queste funzioni sono definite per tutti i numeri reali.

Funzioni razionaliModifica

Le funzioni razionali sono quelle date dal rapporto di due funzioni polinomiali, cioè del tipo

   

L'insieme di definizione   della funzione è l'insieme degli elementi   tali che  . A volte queste sono chiamate funzioni razionali fratte e le polinomiali funzioni razionali intere.

Funzioni irrazionaliModifica

Le funzioni irrazionali sono l'estensione delle funzioni razionali mediante l'uso della radice.

Una funzione irrazionale è del tipo

 

dove   è una funzione razionale definita in un certo sottoinsieme  .

L'insieme di definizione   della funzione dipende dall'indice   della radice: se   è dispari allora il dominio  della funzione coincide con l'insieme   di  .

Se   è pari, allora l'insieme di definizione   della funzione è dato dall'insieme degli elementi   che soddisfano la disequazione  .

Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte.

Funzioni trascendentiModifica

Si chiamano funzioni trascendenti tutte le funzioni non algebriche. Possono ad esempio contenere espressioni logaritmiche, esponenziali, trigonometriche. Si badi però che la presenza di tali espressioni non comporta necessariamente che la funzione sia trascendente. Ad esempio, la funzione definita dall'espressione   è anche definita dal polinomio   e quindi è algebrica.

Fanno parte di questa classe anche le funzioni cosiddette non elementari o non esprimibili analiticamente (da non confondere con le funzioni analitiche, che riguardano un altro aspetto), cioè per cui non esiste formula chiusa che consenta di calcolare i valori   a partire da   arbitrari: tra queste funzioni si trovano ad esempio la campana di Gauss o la funzione degli errori, ma anche molte delle funzioni definite ricorsivamente.

Funzioni trigonometricheModifica

Le funzioni trigonometriche sono:

  • La funzione seno:  

L'insieme di definizione della funzione è l'intera retta reale.

  • La funzione coseno:  

L'insieme di definizione della funzione è l'intera retta reale.

  • La funzione tangente:  

L'insieme di definizione della funzione è l'insieme degli elementi   tali che   con  

  • La funzione cotangente:  

L'insieme di definizione della funzione è l'insieme degli elementi   tali che   con  

  • La funzione secante:  

L'insieme di definizione della funzione è l'insieme degli elementi   tali che   con  

  • La funzione cosecante:  

L'insieme di definizione della funzione è l'insieme degli elementi   tali che   con  

Sono dette funzioni trigonometriche anche composizioni delle precedenti. Sono incluse qua anche le loro inverse, dette funzioni d'arco.

Funzioni esponenzialiModifica

Si dice funzione esponenziale una funzione   del tipo:

 

e relative trasformate.

L'insieme di definizione della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due domini di   e   e dell'insieme delle   che soddisfano la condizione  . Tale funzione è l'inversa della funzione logaritmica.

Funzioni logaritmicheModifica

Si dice funzione logaritmica una funzione   del tipo:

 

e relative trasformate.

L'insieme di definizione della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due domini di   e   e dell'insieme delle   che soddisfano le condizioni  ,   e  . Tale funzione è l'inversa della funzione esponenziale.

Funzioni iperbolicheModifica

Le funzioni iperboliche sono:

  • La funzione seno iperbolico:  
  • La funzione coseno iperbolico:  
  • La funzione tangente iperbolica:  
  • La funzione cotangente iperbolica:  
  • La funzione secante iperbolica:  
  • La funzione cosecante iperbolica:  

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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