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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la funzione indicatrice in teoria della probabilità, vedi funzione caratteristica (teoria della probabilità).
Funzione indicatrice di un insieme bidimensionale

In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, se è un sottoinsieme dell'insieme , la funzione indicatrice, o funzione caratteristica di è quella funzione da all'insieme che sull'elemento vale se appartiene ad e vale in caso contrario.

DefinizioneModifica

La funzione indicatrice di un sottoinsieme   di   è una funzione

 

definita come

 

La funzione indicatrice di   è talvolta indicata con   oppure  

Proprietà fondamentaliModifica

La funzione che associa un sottoinsieme   di   alla sua funzione indicatrice   è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni  

Se   e   sono due sottoinsiemi di   allora

 

Più in generale, supponiamo che   sia una collezione di sottoinsiemi di   Per ogni   si ha che il prodotto

 

è chiaramente un prodotto di   e   Questo prodotto ha il valore   proprio in corrispondenza degli   che non appartengono a nessuno degli insiemi   ed è   altrove. Cioè

 

Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,

 

Dove   è la cardinalità di   Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se   è uno spazio di probabilità con misura di probabilità   e   è un insieme misurabile, allora   diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di  

 

Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della disuguaglianza di Markov.

Se   è l'insieme di tutti i numeri positivi di   compreso lo zero se ne è incluso allora si può scrivere

 

Analisi convessaModifica

In analisi convessa, una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi, spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione, si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una   tale che

 

Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:

 

e

 

relazioni valide ponendo per convenzione   e  .

Voci correlateModifica

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