Apri il menu principale
Un esempio di funzione iniettiva: non esiste alcun elemento di Y che sia puntato da più di un elemento di X
Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

In altre parole: una funzione da un insieme a un insieme è iniettiva se ogni elemento di non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di .

Indice

DefinizioneModifica

Una funzione   si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia   implica  ; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia   implica  .

Simbolicamente:[1][2]

 

oppure, nella forma contronominale:[3]

 

ProprietàModifica

GraficoModifica

 
Questo è il grafico di una funzione reale di variabile reale non iniettiva; c'è quindi una retta parallela all'asse x che lo interseca in più di un punto

Se   è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine   è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico   sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se   è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle   intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).[4]

Viceversa, se   è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine,  . Dunque la retta   interseca il grafico   in almeno due punti:   e  .

OmomorfismiModifica

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.[5][6]

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.[7] Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

InvertibilitàModifica

 
La funzione esponenziale, definita da   alla sola immagine   è invertibile, con inversa la funzione logaritmo  La funzione logaritmo   è l'inversa della funzione esponenziale  , se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo  

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva   non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione  , invertibile.

Una funzione invertibile   è iniettiva, ed anche la sua inversa  , essendo invertibile, è iniettiva.

ComposizioneModifica

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

 

Se la funzione composta   è iniettiva, allora   è iniettiva, ma non è detto che   lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva   è composizione di una funzione iniettiva   e di una funzione non iniettiva  .

Se esistono due funzioni distinte   tali che  , allora   non è iniettiva: infatti esiste un   con  , ma  .

CardinalitàModifica

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettiveModifica

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito   con   elementi ad un insieme finito   con   elementi è pari al numero di disposizioni semplici di   elementi, presi   a  :

 .

Altre proprietàModifica

  • Se   è iniettiva, e   e   sono sottinsiemi di A, allora  .
  • Ogni funzione   può essere scomposta come composizione   di una funzione suriettiva   e di una funzione iniettiva  , definendo   e  .

Ulteriori caratterizzazioni dell'iniettivitàModifica

Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione   e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.

  • Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione   tale che  
  • Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme   e per ogni funzione   e   tali che   si ha  
  • Identità della controimmagine dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni   si ha  

EsempiModifica

  • Su ogni insieme   la funzione identità   è iniettiva (e suriettiva).
  • L'inclusione   di un sottoinsieme   in  , essendo restrizione dell'identità  , è iniettiva.
  • Una funzione definita su un insieme con un solo elemento,  , è iniettiva.
  • Una funzione definita sull'insieme vuoto,  , è iniettiva.
  • Una funzione costante,  , definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
  • Per   e  , la funzione   è iniettiva (e suriettiva).
  • La funzione esponenziale   non è iniettiva.
  • La funzione esponenziale   è iniettiva.
  • La funzione logaritmo,  , è iniettiva.
  • Una funzione reale derivabile,  , la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
  • Una funzione reale derivabile,  , la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
  • La funzione quadrato   è iniettiva.
  • La funzione quadrato   non è iniettiva.
  • La funzione cubo   è iniettiva.
  • La funzione cubo   non è iniettiva.
  • Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

NoteModifica

  1. ^ Herstein, I. N., Pag. 13.
  2. ^ Hungerford, T. W., Pag. 4.
  3. ^ Soardi, P.M., Pag.31.
  4. ^ Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I, traduzione di Roger Cooke, Springer Science & Business Media, 2004, p. 165, ISBN 978-3-540-40386-9.
  5. ^ Herstein, I. N., Pag. 61.
  6. ^ Hungerford, T. W., Pag. 31.
  7. ^ Lang, Serge, Pag. 94.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica