Funzione integrale esponenziale

In matematica, la funzione integrale esponenziale è una funzione speciale complessa caratterizzata tramite l'integrale definito del rapporto tra la funzione esponenziale e il suo argomento.

Grafico di E1 (sopra) e di Ei (sotto).

DefinizioneModifica

La funzione integrale esponenziale   viene definita come:

 

Dato che   diverge per  , il precedente integrale si deve intendere come valore principale di Cauchy:

 

L'algoritmo di Risch mostra che non si tratta di una funzione elementare.

Per valori complessi dell'argomento si utilizza la funzione:

 

che tramite prolungamento analitico può essere estesa a tutto il piano complesso. L'integrale esponenziale è così anche definito come:

 

Si ha inoltre che per valori positivi di  :

 

L'integrale esponenziale è strettamente collegato alla funzione integrale logaritmica, definibile come:

 

per tutti gli   reali positivi diversi da  .

Sviluppo in serieModifica

Integrando lo sviluppo di Taylor di   si può derivare il seguente sviluppo in serie per  :

 

dove   denota la costante di Eulero-Mascheroni. Per argomenti complessi si generalizza con:

 
 
Il grafico di   è delimitato dalle funzioni elementari   (in blu) e   (in rosso) per   reale e positivo.

Tale somma converge per ogni  . Una serie che converge più velocemente si deve a Ramanujan:

 

Esiste anche una serie divergente che approssima l'integrale esponenziale, ottenuta integrando   per parti:

 

che ha un errore dell'ordine di   ed è valida per grandi valori di  .

Dalle serie precedenti si evince che   si comporta come un esponenziale negativo per grandi valori dell'argomento, e come un logaritmo per valori piccoli. Quando l'argomento è reale e positivo si ha:

 

come mostrato nel grafico a lato.

Funzione interaModifica

Sia   che la funzione   possono essere espresse mediante una funzione intera:

 

Con questa funzione e la funzione logaritmo si possono utilizzare come definizioni le seguenti uguaglianze:

 
 

GeneralizzazioniModifica

Una generalizzazione della funzione integrale esponenziale è:

 

che può essere scritto come caso particolare della funzione gamma incompleta:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, (Chapter 5)
  • (EN) Carl M. Bender e Steven A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and engineers, McGraw–Hill, 1978, ISBN 0-07-004452-X.
  • (EN) Norman Bleistein e Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986, ISBN 0-486-65082-0.
  • (EN) Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 566–568, 1985.
  • (EN) Finch, S. R. "Euler-Gompertz Constant." §6.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 423–428, 2003.
  • (EN) Harris, F. E. "Spherical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals." Appl. Numer. Math. 34, 95-98, 2000.
  • (EN) Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105–106, 2003.

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