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Funzione lineare

funzione definita da un polinomio di primo grado

Funzione polinomialeModifica

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale   a valori reali della forma:

 

con   e   costanti reali. Se   la funzione è strettamente crescente, se   la funzione è strettamente decrescente. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione:

 

la costante   viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, mentre   è chiamata intercetta con l'asse delle  . In effetti la retta interseca l'asse Oy nel punto  ; la retta inoltre interseca l'asse Ox nel punto  , come si ricava imponendo   e risolvendo la equazione  ; quando però   la retta è orizzontale e si può dire che "incontra" l'asse Ox solo all'infinito.

GeneralizzazioniModifica

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali   e   a valori reali si intende una funzione della forma:

 

essa nello spazio tridimensionale riferito ad una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale Oz nel punto  , l'asse Ox in  , o all'infinito se m = 0, e l'asse Oy in  , o all'infinito se  .

Trasformazione lineareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Per trasformazione lineare (o applicazione lineare), solitamente definita in uno spazio vettoriale   su un campo  , si intende una funzione che soddisfa le 2 proprietà:

 
 

rispettivamente di additività e omogeneità.

Equivalentemente si può chiedere che:

 

In questa definizione  ,  ,   e   possono essere elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo   o anche elementi arbitrari di un modulo su un anello commutativo  . La funzione   a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come  ,  ,  ,  .

Per la funzione considerata inizialmente:

 

i due membri dell'uguaglianza sono:

 

e questi sono uguali se e solo se  .

Dunque il termine "funzione lineare" viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

EsempiModifica

 

Si osserva che al crescere di m a partire da 0, la retta da orizzontale ruota in senso antiorario aumentando la propria pendenza, mentre facendo assumere ad m valori negativi la retta ruota in senso orario. Cambiando la costante c la retta trasla verso l'alto o verso il basso, rispettivamente all'aumentare oppure al diminuire di c partendo da 0.

NoteModifica

  1. ^ Stewart 2012, p. 23
  2. ^ Shores 2007, p. 71

BibliografiaModifica

  • (EN) Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
  • (EN) Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
  • (EN) James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
  • (EN) Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6

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