Funzione omografica

In matematica, è chiamata funzione omografica una generica funzione di equazione (in forma normale) .

DiscussioneModifica

 
Il grafico della funzione omografica al variare dei parametri a, b, c, d. In rosso è rappresentata una retta parallela all'asse delle x  , in blu una retta con il coefficiente angolare diverso da zero (c=0), in verde un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti traslata.
  • Se   allora  , che è l'equazione di una retta di coefficiente angolare  , che interseca l'asse delle y nel punto di ordinata  .
  • Se il prodotto misto tra i coefficienti  , allora si può sostituire   e quindi, raccogliendo a fattor comune,  , che semplificato dà  , ovvero una retta parallela all'asse x che rappresenta l'asintoto orizzontale della funzione omografica (Allo stesso risultato si perviene sfruttando la definizione di limite, cioè   che è l'asintoto orizzontale).
  • Se   e  , allora la funzione omografica rappresenta un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati. In particolare, gli asintoti hanno equazione   e  .

Iperbole traslataModifica

Sotto la condizione   e   è possibile dimostrare che la funzione omografica   è ottenuta dalla traslazione di una iperbole equilatera del tipo   (in forma canonica  ) che ha gli asintoti coincidenti con gli assi cartesiani.

Anzitutto si svolge la divisione fra i polinomi a numeratore e a denominatore  .

Il quoziente è   e il resto è   e dunque si ottiene

 .

La funzione omografica si ottiene dalla f(x) attraverso:

  • una traslazione orizzontale (con origine traslata in  ) e
  • una traslazione verticale di termine  

Il vettore di traslazione è dunque  , le equazioni di traslazione sono