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In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:

.

Qui

denota la funzione digamma e denota la funzione gamma.

Indice

GeneralitàModifica

La funzione poligamma si denota anche  . La funzione   viene detta anche funzione trigamma e la   funzione tetragamma.

Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.

  .

Vale la relazione di ricorrenza

 

Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie

 

che vale per n>0 e per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo. Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz

  .

Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.

Lo sviluppo di Taylor con centro in z0=1 è

 

che converge per |z|<1. Qui   denota la funzione zeta di Riemann.

Valgono inoltre la formula di riflessione

 

e la formula di moltiplicazione

 

Alcuni valori particolariModifica

Si dimostra che

 

dove   è la costante di Eulero-Mascheroni. Questa serie, per   intero positivo, si riduce ad una somma finita

 

Derivando membro a membro rispetto a   si ha, ancora,

 

che per   diverge, mentre per   diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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