Semicontinuità

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In analisi matematica, la semicontinuità di una funzione reale è una proprietà più debole della continuità. Intuitivamente, se una funzione continua in un punto è localmente limitata, una funzione semicontinua inferiormente (o superiormente) in un punto sarà localmente solo limitata inferiormente (o superiormente).

La definizione di semicontinuità, come quella di continuità, si può porre anche in uno spazio astratto come uno spazio topologico.

DefinizioneModifica

 
Funzione semicontinua inferiormente. Essa non è semicontinua superiormente poiché il suo massimo limite in   è uguale al limite destro
 
Funzione semicontinua superiormente

Una funzione   definita in uno spazio topologico si dice semicontinua inferiormente (s.c.i.) in   se per ogni   esiste un intorno   tale che:

 

per ogni   in  . Equivalentemente,   si dice semicontinua inferiormente in   se:

 

dove   è il limite inferiore di   in  [1]. Una funzione semicontinua inferiormente ha dunque tutte le immagini definitamente sopra o vicino al valore  .

Una funzione   si dice semicontinua superiormente in   (s.c.s.) se per ogni   esiste un intorno   tale che:

 

per ogni   in  . Equivalentemente,   si dice semicontinua superiormente in   se:

 

dove   è il limite superiore di   in  . Una funzione semicontinua superiormente ha dunque tutte le immagini definitamente sotto o vicino al valore  .

EsempiModifica

  • La funzione parte intera,   è semicontinua superiormente.
  • La funzione parte intera superiore   è semicontinua inferiormente.
  • La funzione di Dirichlet   è semicontinua inferiormente in ogni punto irrazionale e semicontinua superiormente in ogni punto razionale.
  • La funzione indicatrice di un insieme aperto è semicontinua inferiormente; quella di un insieme chiuso è semicontinua superiormente

ProprietàModifica

  • Una funzione è continua se e solo se è sia semicontinua inferiormente sia semicontinua superiormente.
  • Una funzione semicontinua inferiormente in un insieme compatto ammette minimo. Analogamente, una funzione semicontinua superiormente in un insieme compatto ammette massimo.
  • Se   e   sono semicontinue superiormente allora lo è anche  , e se entrambe sono non negative anche  . Inoltre, se   è semicontinua superiormente, allora   (con   < 0) è semicontinua inferiormente.
  • Una funzione è semicontinua inferiormente se e solo se esiste una successione di funzioni gradino   tale che:
  •   è semicontinua inferiormente per ogni  ;
  •   per ogni   e  ;
  •  , cioè   converge puntualmente a  .
  • Se   è una successione di funzioni semicontinue inferiormente, allora la funzione definita come   è semicontinua inferiormente.
  • L'inviluppo inferiore   di una qualsiasi funzione è semicontinuo superiormente; si ha che   è semicontinua superiormente se e solo se  .

NoteModifica

  1. ^ H.Brezis, Pag. 11.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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