Funzione tau sui positivi
In matematica, la funzione tau sui positivi (o funzione dei divisori) è una funzione, solitamente indicata con o , che associa a ogni numero intero positivo il numero dei suoi divisori, inclusi uno e il numero stesso.
La funzione vale per , vale per tutti i numeri primi e ha valore maggiore di per tutti gli altri interi positivi. Inoltre la funzione è una funzione moltiplicativa.
Se (dove questa è la fattorizzazione di in numeri primi), allora vale la formula
Da questa scrittura appare evidente che la funzione è dispari se e solo se è un quadrato perfetto.
Segue una tabella dei valori di per i primi 20 numeri interi positivi:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
2 | 6 | 2 | 4 | 4 | 5 | 2 | 6 | 2 | 6 |
Proprietà
modificaLa funzione divisore appare nei coefficienti della serie di Dirichlet del quadrato della funzione zeta di Riemann:
Inoltre, costituisce un caso particolare della funzione sigma, in quanto si ha . In particolare, soddisfa la seguente identità di Lambert:
Codice
modificaIn C
int tau (int N){ //la funzione riceve un numero N e restituisce il numero dei suoi divisori (inclusi 1 e N)
int i, cont=0;
if( N < 1) return 0; //per N non positivo, restituisce zero
for(i = 1 ; i <= N; i++)
if( !(N%i) )
cont++;
return cont;
}