Funzione vettoriale

In matematica, una funzione vettoriale è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano . Una funzione di questo tipo è identificata da una n-upla di funzioni reali fi(x), in cui ognuna rappresenta la dipendenza dell'i-esima componente del vettore immagine dall'argomento. Il dominio può a sua volta essere a una o più dimensioni.

Immagine della funzione nello spazio euclideo tridimensionale

Ad esempio, una funzione dai reali verso i vettori bidimensionali può essere indicata come:

o, utilizzando la notazione dei versori,

in cui f1 e f2 sono funzioni .

Il dominio di una funzione vettoriale è l'intersezione dei domini delle n funzioni reali.

Derivazione di una funzione vettorialeModifica

Se  , si definisce la derivata di una funzione vettoriale esattamente allo stesso modo delle funzioni reali, cioè come il limite del rapporto incrementale:

 .

Grazie alle proprietà delle operazioni sui vettori, se tale limite esiste esso coincide con il vettore delle derivate delle singole funzioni, cioè  .

Tutte le proprietà comode della derivazione reale ritornano in quella vettoriale. Notare che in particolare per la linearità della derivata e per la regola del prodotto, questo risultato può essere ricavato anche dalla scrittura di   mediante versori, in quanto la derivata di un versore è 0.

Se  , con  , allora si hanno   derivate parziali, ognuna per ogni combinazione delle   variabili con le   funzioni scalari. L'insieme di queste derivate (se esiste) si indica di solito in una matrice di   righe e   colonne, dove la i-esima riga rappresenta il gradiente della i-esima funzione scalare yi.

 

detta matrice jacobiana di  .

EsempiModifica

Voci correlateModifica

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