Funzione zeta di Hurwitz

In matematica, in particolare in teoria analitica dei numeri, la funzione zeta di Hurwitz è una funzione zeta che deve il suo nome al matematico tedesco Adolf Hurwitz. La funzione è definita attraverso la serie

se e . Chiaramente, se la funzione zeta di Hurwitz coincide con la funzione zeta di Riemann, cioè .

Allo stesso modo della funzione zeta di Riemann, può essere prolungata analiticamente a una funzione olomorfa sull'intero piano complesso, ad eccezione di .

Funzione zeta di Hurwitz con . Il grafico è stato fatto con matplotlib utilizzando una versione del metodo della colorazione del dominio.[1]

Prolungamento analiticoModifica

 
Funzione zeta di Hurwitz con   .

Se  , si può definire la funzione per mezzo della seguente equazione

 

dove il contorno   è una linea chiusa attorno all'asse reale negativo.

Si può essere quindi prolungare analiticamente a una funzione meromorfa, con il punto   come unico polo semplice e di residuo  . Il termine costante è dato da

 

dove   è la funzione Gamma e   la funzione digamma.

RappresentazioniModifica

Rappresentazione in serieModifica

 
Funzione zeta di Hurwitz con parametro   e  .

Nel 1930, Helmut Hasse[2] fornì una rappresentazione in serie di Newton convergente definita per   reale e  :

 

Questa serie converge uniformemente in ogni sottoinsieme compatto del semipiano di   a una funzione intera. SI comprende che la somma interna è la  -esima differenza in avanti di  , cioè

 

dove   è l'operatore di differenza in avanti. Quindi, si può scrivere

 

Altre serie globalmente convergenti sono le seguenti

 
 
 
 
 
 

dove   sono i numeri armonici,   sono i numeri di Stirling del primo tipo,   è il simbolo di Pochhammer,   sono i coefficienti di Gregory,   sono i coefficienti di Gregory di ordine superiore e   sono i numeri di Cauchy del secondo tipo ( ,  ,  ,...), vedere l'articolo di Blagouchine[3].

Rappresentazione integraleModifica

La funzione ha una rappresentazione integrale in termine della trasformata di Mellin,

 

per   e  

ProprietàModifica

Formula di HurwitzModifica

La formula di Hurwitz afferma che

 

dove

 

è la rappresentazione della funzione valida per   e  , e inoltre   indica il polilogaritmo.

Equazione funzionaleModifica

L'equazione funzionale mette in relazioni i valori della funzione di Hurwitz sulla parte destra e sinistra del piano complesso. Per   interi, per ogni valore di   si ha

 

Alcune somme finiteModifica

Le seguenti somme finite sono strettamente collegate all'equazione funzionale, alcune delle quali possono essere valutate in forma chiusa

 
 
 

dove   è un intero positivo maggiore di   e   è un numero complesso.[4].

Trasformata di FourierModifica

La trasformata discreta di Fourier della funzione zeta di Hurwitz rispetto all'ordine   è la funzione chi di Legendre.

Valori razionaliModifica

La funzione zeta di Hurwitz calcolata nei numeri razionali compare in molte identità impressionanti.[5] In particolare, in termini dei polinomi di Eulero  :

 

e

 

Inoltre,

 

vale per ogni  .   e   sono definite per mezzo della funzione chi di Legendre  ,

 

e

 

Per valori interi di  , possono essere espressi in termini dei polinomi di Eulero. Si possono derivare queste relazioni utilizzando l'equazione funzionale insieme alla formula di Hurwitz.

Espansioni in serieModifica

Serie di TaylorModifica

La derivata della funzione zeta di Hurwitz rispetto alla seconda variabile è una traslazione:

 

Perciò, la serie di Taylor ha la caratteristica forma umbrale:

 

Alternativamente,

 

con  .[6]

Strettamente connessa è la formula di Stark–Keiper:

 

che vale per   intero e   arbitrario. Vedere la formula di Faulhaber per una relazione simile sulle somme finite di potenze di interi.

Serie di LaurentModifica

L'espansione in serie di Laurent può essere utilizzata per definire le costanti di Stieltjes che compaiono nella serie

 

In particolare,   e .

Legami con altre funzioniModifica

Legame con i polinomi di BernoulliModifica

La funzione   definita precedentemente generalizza i polinomi di Bernoulli:

 

dove   indica la parte reale di  . Alternativamente,

 

In particolare, la relazione vale per   e si ha

 

Legame con la funzione theta di JacobiModifica

Se   è la funzione theta di Jacobi, allora

 

vale per   e   complesso, ma non intero. Per   intero , la formula diventa

 

dove   è la funzione zeta di Riemann. Si noti che questa ultima forma è l'equazione funzionale della funzione zeta di Riemann, come scritta in origine da Riemann. La distinzione tra   intero e non tiene conto del fatto che la funzione theta di Jacobi converge alla funzione delta di Dirac in   se  .

Legame con le funzioni L di DirichletModifica

Se l'argomento è un numero razionale, si può esprimere la funzione zeta di Hurwitz come combinazione lineare di funzioni L di Dirichlet e vice versa: La Zeta di Hurwitz coincide con la Zeta di Riemann   quando  , se   è uguale a  ,[7] e se   con  ,   e  , allora[8]

 

dove la somma è sui caratteri di Dirichlet mod  . Nella direzione opposta si ha la combinazione lineare[7]

 

Esiste anche il teorema di moltiplicazione

 

di cui una utile generalizzazione è la relazione di distribuzione[9]

 

(Questa ultima forma è valida solo se   è un numero naturale e   non lo è.)

ZeriModifica

Se  , la funzione zeta di Hurwitz si riduce alla funzione zeta di Riemann; se   si riduce alla funzione zeta di Riemann moltiplicata per una semplice funzione di variabile complessa   (vide supra), riconducendosi in ogni caso al difficile studio degli zeri della Zeta di Riemann. In particolare, non esistono zeri con parte reale maggiore o uguale a 1. Tuttavia, se   e  , allora esistono degli zeri della funzione zeta di Hurwitz nella fascia   per ogni   reale positivo. Questo fatto fu dimostrato da Davenport e Heilbronn per   razionale o trascendente,[10] e da Cassels per gli irrazionali algebrici.[7][11]

ApplicazioniModifica

La funzione zeta di Hurwitz compare in svariate discipline. Più comunemente, si presenta nella teoria dei numeri, dove il suo studio è il più profondo e sviluppata. Tuttavia, compare anche nello studio dei frattali e dei sistemi dinamici. Nella statistica applicata, è presente nella legge di Zipf e in quella di Zipf–Mandelbrot. Nella fisica delle particelle, compare in una formula di Julian Schwinger,[12] fornendo un risultato esatto della velocità di produzione di coppia di un elettrone di Dirac.

Casi speciali e generalizzazioniModifica

La funzione zeta di Hurwitz con   un intero positivo è collegata alla funzione poligamma:

 

Per interi negativi  , i valori sono collegati ai polinomi di Bernoulli:[13]

 

La funzione zeta di Barnes generalizza la Zeta di Hurwitz come

 

dove   e   hanno parte reale positiva e  .

Un'ulteriore generalizzazione viene dalla funzione trascendente di Lerch:

 

e quindi

 

Infine compaiono la funzione ipergeometrica

  dove  

e la funzione G di Meijer

 

NoteModifica

  1. ^ https://nbviewer.jupyter.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
  2. ^ Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, in Mathematische Zeitschrift, vol. 32, nº 1, 1930, pp. 458–464, DOI:10.1007/BF01194645, JFM 56.0894.03.
  3. ^ Iaroslav V. Blagouchine, Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions, in Integers (Electronic Journal of Combinatorial Number Theory), 18A, 2018, pp. 1–45, Bibcode:2016arXiv160602044B, arXiv:1606.02044.
  4. ^ Vedere ad esempio l'Appendice B di I.V. Blagouchine, A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations, in Journal of Number Theory, vol. 148, Elsevier, 2014, p. 537–592, DOI:10.1016/j.jnt.2014.08.009, arXiv:1401.3724.
  5. ^ Fornito da Djurdje Cvijović e Jacek Klinowski, Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments, in Mathematics of Computation, vol. 68, nº 228, 1999, pp. 1623–1630, Bibcode:1999MaCom..68.1623C, DOI:10.1090/S0025-5718-99-01091-1.
  6. ^ Linas Vepstas, An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions, in Numerical Algorithms, vol. 47, 2007, pp. 211–252, Bibcode:2008NuAlg..47..211V, DOI:10.1007/s11075-007-9153-8, arXiv:math/0702243.
  7. ^ a b c Davenport (1967) p.73
  8. ^ David Lowry, Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa, in mixedmath. URL consultato il 21 giugno 2018.
  9. ^ Daniel S. Kubert e Serge Lang, Modular Units, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 244, Springer-Verlag, 1981, p. 13, ISBN 0-387-90517-0, Zbl 0492.12002.
  10. ^ H. Davenport e H. Heilbronn, On the zeros of certain Dirichlet series, in Journal of the London Mathematical Society, vol. 11, nº 3, 1936, pp. 181–185, DOI:10.1112/jlms/s1-11.3.181, Zbl 0014.21601.
  11. ^ J. W. S. Cassels, Footnote to a note of Davenport and Heilbronn, in Journal of the London Mathematical Society, vol. 36, nº 1, 1961, pp. 177–184, DOI:10.1112/jlms/s1-36.1.177, Zbl 0097.03403.
  12. ^ J. Schwinger, On gauge invariance and vacuum polarization, in Physical Review, vol. 82, nº 5, 1951, pp. 664–679, Bibcode:1951PhRv...82..664S, DOI:10.1103/PhysRev.82.664.
  13. ^ Apostol (1976) p.264

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica