Geometria analitica

Un ellissoide

La geometria analitica, chiamata anche geometria cartesiana, è lo studio delle figure geometriche attraverso il sistema di coordinate oggi dette cartesiane, ma già studiate nel Medioevo da Nicola d'Oresme.

Ogni punto del piano cartesiano è individuato dalle sue coordinate su due assi: ascisse (x) e ordinate (y), nello spazio è individuato da 3 coordinate (x,y,z). Le coordinate determinano un vettore rispettivamente del tipo $(x,y)$ oppure $(x,y,z)$. Gli enti geometrici come rette, curve, poligoni sono definiti tramite equazioni, disequazioni o insiemi di queste, detti sistemi.

Le proprietà di questi oggetti, come le condizioni di incidenza, parallelismo e perpendicolarità, vengono anch'esse tradotte in equazioni e quindi studiate con gli strumenti dell'algebra e dell'analisi matematica.

Il termine geometria analitica è stato usato anche da alcuni matematici moderni come Jean-Pierre Serre per definire una branca della geometria algebrica che studia le varietà complesse determinate da funzioni analitiche.

Le formule della geometria analitica possono essere agevolmente estese nello spazio a tre dimensioni. La geometria strutturale studia le proprietà delle figure geometriche in uno spazio a quattro o più dimensioni, e il loro rapporto con le figure in tre dimensioni.
La geometria descrittiva è in parte attinente poiché rappresenta su uno o più piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali. Giuseppe Veronese tentò una descrizione a quattro o più dimensioni, priva di rigore formale logico, e fortemente criticata da Giuseppe Peano.

Storia della geometria analitica

Le coordinate cartesiane.

René Descartes introdusse le basi della geometria analitica nel 1637 nel saggio intitolato Geometria incluso nel suo libro Discorso sul metodo per ben condurre la propria ragione e cercare la verità nelle scienze più la Diottrica, le Meteore e la Geometria che sono saggi di questo metodo (la cui prefazione è il famoso Discorso sul metodo). Questo lavoro scritto in francese e i suoi principi filosofici, fornirono le fondamenta per il calcolo differenziale, che sarà successivamente introdotto da Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, in maniera autonoma fra loro.

I temi più importanti della geometria analitica sono:

• lo spazio vettoriale
• definizione di piano
• problemi sulla distanza
• il prodotto scalare per ottenere la proiezione fra due vettori
• il prodotto vettoriale per ricavare un vettore perpendicolare a due vettori conosciuti
• problemi di intersezione

Molti di questi problemi comprendono l'algebra lineare.

Bibliografia

• Carlo Rocco Catechismo di matematiche pure (Napoli: Reale Tipografia della Guerra, 1842)
• Carlo Rocco Considerazioni sopra l'analisi geometrica (Napoli: Reale Tipografia della Guerra, 1843)
• Domenico Chelini Saggio di geometria analitica (Roma: tipografia delle belle arti, 1838)
• Ferdinando Aschieri Geometria analitica del piano (Milano: U. Hoepli, 1887)
• Ferdinando Aschieri Geometria analitica dello spazio (Milano: U. Hoepli, 1888)
• Enrico D'Ovidio Geometria analitica (Torino: Fratelli Bocca, 1896)
• Enrico D'Ovidio Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali (Torino: E. Loescher, 1885).
• Guido Castelnuovo Lezioni di geometria analitica e proiettiva (volume 1: geometria analitica del piano) (Roma: Algrighi, Segati & co., 1904)
• Ettore Bortolotti Lezioni di geometria analitica (Bologna, N. Zanichelli, 1921)

Voci correlate

• Sistema di riferimento cartesiano

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Collegamenti esterni

• Geometria analitica, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
• (EN) Geometria analitica, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) George Salmon A treatise on the analytic geometry of three dimensions (London: Longmans, Green and co.,1912-1915)
• (EN) George Salmon A treatise on conic sections (London: Longman, Brown, Green and Longmans, 1855)
• (EN) George Salmon A treatise on the higher plane curves (Dublin: Hodges and Smith, 1852)