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In matematica, la geometria differenziale delle curve usa il calcolo infinitesimale per studiare le curve nel piano, nello spazio, e più generalmente in uno spazio euclideo.

Indice

DefinizioniModifica

Definizioni di baseModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: curva (matematica).

Una curva è una funzione continua  , dove   è un intervallo dei numeri reali, come ad esempio  . La variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera   e per la funzione si usa spesso la notazione  . In questa voce, supporremmo che   sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima   sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo  .

Per supporto di   si intende l'immagine di tale funzione. Se   è iniettiva, la curva si dice semplice.

Lunghezza e parametrizzazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Curva nello spazio.

Una riparametrizzazione di   è un'altra curva   tale che:

 

dove   è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e   è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con  . In questo caso le curve   e  , benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La lunghezza di una curva   definita su un intervallo chiuso   è fornita da:

 

La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma   e pensiamo che la variabile   esprima il tempo per un corpo puntiforme   che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a  ; abbiamo quindi un modello cinematico della curva. Si può quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante   è:

 

La funzione sempre crescente   stabilisce una biiezione tra gli intervalli   e   e porta a una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:

 

si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco   della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante uguale a  :

 

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale a  . Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Sistema di FrenetModifica

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di   vettori ortonormali   dipendenti da  , utili per descrivere il comportamento locale della curva in  .

Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia regolare, cioè che le derivate   siano linearmente indipendenti, e quindi formino una base. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come:

 

Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

In due dimensioniModifica

 
Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet   è la tangente alla curva al valore   del parametro, mentre il vettore  , detto vettore normale è il vettore normale a  , nella direzione in cui curva. La curvatura:

 

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco:

 

è chiamato raggio di curvatura. Ad esempio, una circonferenza di raggio   ha curvatura costante  , mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a   e di raggio  . Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore   del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di   nel punto.

In tre dimensioniModifica

 
Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato

Nello spazio tridimensionale i vettori di Frenet e le curvature hanno dei nomi specifici.

Vettore tangenteModifica

Il primo vettore di Frenet   è il vettore tangente, definito quindi come:

 

Se   è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

 

Versore normaleModifica

Il versore normale misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come:

 

I vettori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto  .

CurvaturaModifica

La prima curvatura generalizzata   è chiamata semplicemente curvatura di   in  , ed è data da

 

Il reciproco della curvatura

 

è il raggio di curvatura nel punto  .

Vettore binormaleModifica

Il vettore binormale è il terzo vettore di Frenet  : è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come:

 

TorsioneModifica

La seconda curvatura generalizzata   è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

 

Formule di Frenet-SerretModifica

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate  .

2 dimensioniModifica

 

3 dimensioniModifica

 

n dimensioni (formula generale)Modifica

 

Proprietà delle curvatureModifica

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date   funzioni:

 

sufficientemente differenziabili, con:

 

esiste un'unica curva   avente quelle curvature, a meno di traslazioni e altre isometrie dello spazio euclideo.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica