Gerarchia di Von Neumann

In teoria degli insiemi, si usa il termine gerarchia di Von Neumann per indicare una particolare successione parametrizzata con numeri ordinali e definita per ricorsione come segue:

(Con s'intende l'insieme delle parti di ).

Osserviamo che, mentre dato un qualsiasi ordinale si ha che è un insieme, l'unione

non è un insieme, ma una classe propria, infatti chiaramente esiste una funzione classe iniettiva ma siccome è una classe propria allora l'immagine iniettiva di una classe propria è una classe propria.

ProprietàModifica

Valgono i seguenti fatti:

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Gerarchia di Von Neumann e assioma di fondazioneModifica

La gerarchia di Von Neumann assume un particolare interesse se si considera l'assioma di fondazione, infatti si dimostrano i seguenti fatti in ZFC\(Assioma di Fondazione):

 

 
Rappresentazione grafica della gerarchia di Von Neumann: notare che l'unione di tutta la gerarchia assomiglia appunto ad una "V".

In altre parole, qualora si assuma per vero l'assioma di fondazione si ottiene   (ricordiamo che con   indichiamo la classe propria di tutti gli insiemi.

È interessante osservare che la scelta della lettera   per designare tale classe, e quindi anche per indicare i vari insiemi della gerarchia, deriva dalla rappresentazione grafica a lato.

Questa raffigurazione permette anche di sottolineare la stretta relazione tra la gerarchia di Von Neumann e i concetti stessi di insiemi e classi: supponendo infatti di disegnare sul grafico alcune collezioni di oggetti, gli insiemi saranno sempre limitati da un elemento della gerarchia, le classi saranno tutte e sole le collezioni che "bucano" tutta la gerarchia verso l'alto.

Gerarchia di Von Neumann e numero bethModifica

Sia α ordinale, allora:

 

con   la tetrazione di 2 e   il numero beth associato ad  .

Modelli di ZFModifica

Un qualsiasi elemento della gerarchia di Von Neumann, per come è definito, rispetta gran parte degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel. Ad esempio sarà chiuso per unione, conterrà l'insieme vuoto (con l'eccezione di  )...

Si potrebbe quindi sperare di trovare uno o più elementi della gerarchia che siano modelli della ZF, ovvero rendano veri tutti gli assiomi. È interessare esaminare alcuni casi particolari:

  •   non rispetta l'assioma dell'infinito; infatti, sebbene   stesso sia infinito, tutti i suoi elementi sono finiti. Si dimostra facilmente che   rispetta tutti gli altri assiomi:  .
  • dato un qualsiasi ordinale successore  ,   non rispetterà, tra gli altri, l'assioma della coppia: infatti   conterrà   ma non il singoletto  , che non è altro che la coppia  
  •   rispetta l'assioma dell'infinito (contiene  ) e l'assioma della coppia (difatti   è un ordinale limite, il più piccolo dopo  ), ma non l'assioma di rimpiazzamento; infatti possiamo definire su ogni   la funzione:
 
Nonostante la funzione sia ben definita  , l'immagine di   tramite questa funzione sarebbe  , che non è un elemento di   (nonostante ne sia un sottoinsieme).

In ultima analisi, si dimostra che un cardinale inaccessibile (maggiore di  ) è tale che   è un modello per ZF; il fatto che la loro esistenza sia indecidibile all'interno di ZF è in linea con il secondo teorema di incompletezza di Gödel, che afferma che una teoria sufficientemente potente non può provare la propria coerenza, e quindi non si può trovare un modello per la ZF nell'ambito della ZF stessa.

BibliografiaModifica

  • F. R. Drake, Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic & the Foundations of Mathematics - Vol 76), 1974.

Voci correlateModifica

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