Grafico di una funzione

insieme delle coppie (x,f(x)), dove x varia nel dominio della funzione f

In matematica, il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.

Rappresentazione visiva del grafico di una funzione cubica su :
Rappresentazione visiva del grafico di:

Definizione modifica

Data una funzione  , si definisce grafico di   il sottoinsieme del prodotto cartesiano   (cioè una relazione tra gli insiemi   e  ) dato da:[1]

 

Grafici di funzioni reali modifica

Nel caso di una funzione reale di una sola variabile reale  , il grafico   è il sottoinsieme di   definito da

 .

e la cui rappresentazione, essendo bidimensionale, associa ad ogni punto di   una coppia ordinata  . Nello specifico caso delle funzioni continue su un intervallo, il grafico della funzione può essere visto come una curva in   e tale la curva è inoltre liscia sugli intervalli in cui la funzione è regolare (ossia differenziabile).

Nel caso invece di una funzione reale di due variabili reali  , il grafico della funzione è il sottoinsieme di   definito da

 

e la cui rappresentazione, essendo tridimensionale, associa ad ogni punto del piano incluso nel suo insieme di definizione, un'ordinata   nello spazio.

Un metodo alternativo per rappresentare il grafico di una funzione di due variabili consiste nel ricorrere al metodo delle curve di livello. In tal caso, le curve di livello della funzione   sono date dall'insieme:

 

con  . La rappresentazione   è quindi una famiglia di curve tale per cui ogni curva rappresenta un'altezza diversa del grafico. In pratica, le curve sono ottenute dall'intersezione del grafico   con i vari piani  .

Nel caso più generale di una funzione reale di   variabili reali  , il grafico della funzione è il sottoinsieme di   definito da

 

In questo caso, essendo una rappresentazione  -dimensionale risulta particolarmente difficile da realizzare in modo pratico.

Come si può dedurre dalla definizione e dagli esempi riportati, data una funzione reale di   variabili reali serve uno spazio ad   dimensioni per poter rappresentare la funzione stessa.

Grafici di funzioni complesse modifica

Per quanto riguarda invece le funzioni di variabile complessa le cose si complicano ulteriormente. Ad esempio, per una funzione  , poiché   è isomorfo a  , serve uno spazio di   per poter rappresentare tale funzione. Più in generale, per una funzione di   variabili complesse, serve un equivalente spazio di   per poter rappresentarne il grafico.

Grafici di funzioni vettoriali modifica

Il teorema del grafico chiuso modifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del grafico chiuso.

Si supponga che   e   siano spazi di Banach, e che   sia un operatore lineare. Il teorema del grafico chiuso afferma che   è continuo (e dunque limitato) se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio   dotato della topologia prodotto.

La restrizione sul dominio è necessaria a causa dell'esistenza di operatori lineari chiusi illimitati, che non sono necessariamente continui.

Note modifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 83.

Bibliografia modifica

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate modifica

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