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Grafico di una funzione

l'insieme delle coppie (x,f(x)), dove x varia nel dominio della funzione f
Rappresentazione visiva del grafico di una funzione cubica su :
Rappresentazione visiva del grafico di:

In matematica, il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.

Indice

DefinizioneModifica

Data una funzione  , si definisce grafico di   il sottoinsieme del prodotto cartesiano   (cioè una relazione tra gli insiemi   e  ) dato da:[1]

 

Per una funzione reale di variabile reale  , il grafico   è il sottinsieme di   dato da  . Per funzioni continue su un intervallo il grafico può essere visto come una curva in  ; la curva è inoltre «liscia» sugli intervalli in cui la funzione è regolare (ossia differenziabile).

Nel caso di una funzione reale di due variabili reali   definita su un sottinsieme del piano x-y, il grafico è dato da:

 

La sua rappresentazione è tridimensionale per cui ad ogni punto del piano corrisponde un'ordinata   nello spazio. In alternativa si può usare il metodo delle curve di livello. In tal caso le curve di livello della funzione   sono date dall'insieme:

 

dove   è una costante in generale intera. La sua rappresentazione è quindi una famiglia di curve in cui ogni curva rappresenta un'altezza diversa del grafico. In pratica le curve sono le curve di intersezione del grafico   con i vari piani  .

Il teorema del grafico chiusoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del grafico chiuso.

Si supponga che   e   siano spazi di Banach, e che   sia un operatore lineare. Il teorema del grafico chiuso afferma che   è continuo (e dunque limitato) se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio   dotato della topologia prodotto.

La restrizione sul dominio è necessaria a causa dell'esistenza di operatori lineari chiusi illimitati, che non sono necessariamente continui.

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 83

BibliografiaModifica

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  • Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
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