Gruppo di Mathieu

In matematica, i gruppi di Mathieu sono 5 gruppi finiti semplici scoperti nel 1860 e nel 1873 dal matematico francese Émile Mathieu. Questi gruppi vengono denotati con M_n, dove n può assumere i valori 11, 12, 22, 23 e 24. In genere essi vengono considerati come gruppi di permutazioni di n punti. Essi sono stati i primi gruppi sporadici ad essere individuati.

Gruppi molteplicemente transitivi

I gruppi di Mathieu costituiscono esempi di gruppi molteplicemente transitivi. Per un numero intero positivo k, un gruppo di permutazioni G agente su n punti si dice k-transitivo se per ogni coppia di insiemi di k punti {a₁, ... a_k} e {b₁, ... b_k} (con tutti gli a_i mutuamente distinti e tutti i b_i mutuamente distinti), nel gruppo G si trova un elemento g che per ogni i = 1 , ..., k porta a_i in b_i.

I gruppi M₂₄ ed M₁₂ sono 5-transitivi, i gruppi M₂₃ e M₁₁ sono 4-transitivi ed M₂₂ è 3-transitivo.

Dalla classificazione dei gruppi finiti semplici segue che gli unici gruppi k-transitivi per k maggiore o uguale a 4 sono i gruppi simmetrici e i gruppi alternanti (aventi gradi k e k-2 rispettivamente) e i gruppi di Mathieu M₂₄, M₂₃, M₁₂ ed M₁₁.

Ordini

Gruppo	Ordine	Fattorizzazione dell'ordine
M11	7 920	24.32.5.11
M12	95 040	26.33.5.11
M22	443 520	27.32.5.7.11
M23	10 200 960	27.32.5.7.11.23
M24	244 823 040	210.33.5.7.11.23

Due realizzazioni dei gruppi di Mathieu

Gruppo degli automorfismi dei sistemi di Steiner

A meno di una relazione di equivalenza, esiste un unico sistema di Steiner S(5,8,24). Il gruppo M₂₄ è il gruppo degli automorfismi di tale sistema; in altre parole esso è l'insieme delle permutazioni che portano ogni blocco in qualche altro blocco. M₂₃ ed M₂₂ sono definiti come i sottogruppi di M₂₄ che sono rispettivamente stabilizzatore di un singolo punto e stabilizzatore di due punti.

Similmente esiste, a meno di un'equivalenza, un solo sistema di Steiner S(5,6,12) e il gruppo M₁₂ è il suo gruppo degli automorfismi; M₁₁ è il suo sottogruppo stabilizzatore di un punto.

Gruppo degli automorfismi del codice binario di Golay

Il gruppo M₂₄ si può anche realizzare come gruppo degli automorfismi del codice binario di Golay W. Ricordiamo che questo codice è un insieme di 1024 sequenze binarie (parole-codice) collocate nello spazio V=F₂²⁴ delle sequenze di 24 bits. M₂₄ può vedersi come il gruppo delle permutazioni delle coordinate di V che trasforma W in sé stesso. Possiamo anche riguardare M₂₄ come l'intersezione di S₂₄ con lo stabilizzatore Stab(W) nel gruppo degli automorfismi Aut(V).

I sottogruppi semplici M₂₃, M₂₂, M₁₂ ed M₁₁ si possono definire rispettivamente come gli stabilizzatori in S₂₄ rispettivamente di una singola coordinata, di una coppia ordinata di coordinate, di un sottoinsieme di 12 elementi dell'insieme delle coordinate corrispondente ad una parola-codice, di una parola codice di 12 elementi insieme ad una singola coordinata.

Bibliografia

• John H. Conway, R. T Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson (1985): Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0

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