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In matematica, più precisamente nella teoria dei gruppi, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un unico elemento.

Un tale gruppo è isomorfo al gruppo delle classi di resto modulo , oppure al gruppo dei numeri interi. Quindi i gruppi ciclici sono fra i più semplici, e sono completamente classificati.

Indice

DefinizioneModifica

Un gruppo   è ciclico se esiste un elemento   del gruppo (detto generatore) tale che   è l'insieme delle potenze di   ad esponente intero, in simboli

 

Stiamo qui usando la notazione moltiplicativa. Quando si usa la notazione additiva, invece che di potenze si parla di multipli, dunque in simboli

 

Ad esempio, se

 

allora   è ciclico.

In altre parole,   coincide con il sottogruppo   generato da  . Si usa quindi scrivere   oppure  .

EsempiModifica

Classi di restoModifica

L'esempio seguente, fornito dalla aritmetica modulare, è fondamentale.

Poiché   è un sottogruppo normale di   di indice  , il gruppo quoziente   è un gruppo commutativo finito con   elementi, che possiamo scrivere  . La somma fra due elementi   e   è il resto della divisione di   per  . Poiché ogni elemento si scrive come   (sommato   volte), il numero   è generatore del gruppo. Quindi   è un gruppo ciclico.

Quando non si crea confusione con i numeri p-adici, si usa la notazione più stringata   invece di  .

Altri esempiModifica

  • I numeri interi   sono un gruppo ciclico di ordine infinito.
  • Le rotazioni del piano cartesiano che sono simmetrie di un poligono regolare con   lati centrato nell'origine formano un gruppo ciclico di ordine  .
  • Le radici n-esime dell'unità nel piano complesso formano un gruppo ciclico di ordine   tramite moltiplicazione.
  • Il gruppo di Galois di ogni estensione finita di un campo finito è finito e ciclico.
  • Dato un gruppo   ed un elemento   di  , il sottogruppo   generato da   è un gruppo ciclico.

Proprietà dei gruppi cicliciModifica

Gruppo abelianoModifica

Un gruppo ciclico è abeliano.

ClassificazioneModifica

Un gruppo ciclico   con   elementi è isomorfo al gruppo   delle classi di resto modulo   se   è finito, ed isomorfo al gruppo   dei numeri interi se   è infinito.

L'isomorfismo può essere costruito nel modo seguente. La funzione   che manda l'intero   nella potenza   del generatore   di   è un omomorfismo di gruppi suriettivo. Se   è infinito, la funzione è anche iniettiva, dunque un isomorfismo. Se invece   è finito, di ordine  , il nucleo della funzione è   ed il primo teorema d'isomorfismo fornisce un isomorfismo  .

OrdineModifica

Per quanto scritto sopra, un gruppo ciclico è identificato, a meno di isomorfismo, dal suo ordine  .

Sia   un gruppo ciclico finito, con generatore  . In questo caso, l'ordine è il minimo intero positivo   tale che  . Più in generale,   se e solo se   è un multiplo di  .

Per ogni altro elemento   del gruppo, vale comunque la relazione  .

GeneratoriModifica

L'elemento   è generatore di   se e solo se   è coprimo con  . Quindi ci sono   generatori distinti in un gruppo ciclico con   elementi, dove   è la funzione φ di Eulero.

SottogruppiModifica

Ogni sottogruppo ed ogni gruppo quoziente di un gruppo ciclico è ciclico.

Se   è ciclico di ordine   ed   divide   allora esiste un solo sottogruppo ciclico di ordine  .

Prodotti di gruppi cicliciModifica

Il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine   e   ha ordine   ed è ciclico se e solo se   e   sono coprimi.

D'altra parte, il teorema fondamentale per i gruppi abeliani finitamente generati asserisce che ogni gruppo abeliano finitamente generato è prodotto di gruppi ciclici.

Gruppi con p elementiModifica

Se   è un numero primo, ogni gruppo   con   elementi è isomorfo a  . In altre parole, ogni gruppo con   elementi è isomorfo ad un gruppo ciclico.

Un tale gruppo possiede solo i due sottogruppi banali   e   stesso.

Struttura di anello di Z/n ZModifica

AnelloModifica

Il sottogruppo   è anche un ideale nell'anello commutativo  , e quindi   eredita anche una struttura di anello commutativo. In altre parole, si può fare il prodotto fra due numeri: il prodotto fra   e   è il resto della divisione di   per  .

Se   è primo, l'anello   è in verità un campo. Se   non è primo, abbiamo   per qualche  . Questa relazione nel gruppo diventa  : quindi l'anello non è un dominio di integrità, e quindi a maggior ragione non può essere un campo.

Gruppo delle unitàModifica

Le unità dell'anello   sono i numeri primi con  , ovvero i generatori del gruppo. Formano un gruppo con la moltiplicazione, di   elementi (vedi sopra), indicato generalmente come  .

Ad esempio, i gruppi   e   sono isomorfi rispettivamente a   e  .

In generale,   è ciclico se e solo se   è  ,  ,   o   dove   è un primo dispari e  .

In particolare, il gruppo   è ciclico con   elementi per ogni primo  . Più in generale, ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Capitolo I §4, in Algebra, 3ª ed., Springer, 2002.

Voci correlateModifica

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