Gruppo di Prüfer

termine

In matematica e più precisamente in teoria dei gruppi, il p-gruppo di Prüfer, Z(p), per un numero primo p, è l'unico gruppo di torsione in cui ogni elemento ha p radici p-esime.

Altre rappresentazioniModifica

Il p-gruppo di Prüfer si può rappresentare anche in molti altri modi equivalenti. Ad esempio, è facile mostrare che esso è isomorfo al p-sottogruppo_di_Sylow di Q/Z formato dagli elementi che hanno ordine una potenza di p, o equivalentemente,

 

Il p-gruppo di Prüfer può anche essere visto come sottogruppo del sottogruppo moltiplicativo dei complessi, C*; esso è infatti isomorfo al gruppo formato da tutte le radici pn-esime dell'unità al variare di n tra i numeri naturali (e dunque è anche un sottogruppo del gruppo circolare, 'U (1)).

 

Infine il p-gruppo di Prüfer si può determinare anche attraverso la sua presentazione

 .

Proprietà elementariModifica

  • I p-gruppi di Prüfer sono gli unici gruppi infiniti i cui sottogruppi sono totalmente ordinati dall'inclusione:
 
Questa sequenza mostra inoltre come sia possibile rappresentare i p-gruppi di Prüfer anche come limiti diretti dei propri sottogruppi finiti.

NoteModifica

  1. ^ D. L. Armacost and W. L. Armacost, "On p-thetic groups Archiviato il 12 marzo 2007 in Internet Archive.", Pacific J. Math., 41, no. 2 (1972), 295–301

Voci correlateModifica

  • Interi p-adici, che possono essere definiti come il limite inverso dei sottogruppi finite del p-gruppo di Prüfer.
  • Frazione diadica. Il 2-gruppo di Prüfer può essere visto come il gruppo delle frazioni diadiche modulo 1.

Collegamenti esterniModifica

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