In matematica, in particolare la teoria delle algebre di Lie, il gruppo di Weyl (dal nome di Hermann Weyl) di un sistema di radici è un sottogruppo del gruppo di isometrie di quel sistema di radici. Nello specifico, è il sottogruppo che si genera per riflessioni attraverso gli iperpiani ortogonali alle radici, e come tale è un gruppo finito di riflessioni. Infatti risulta che la maggior parte dei gruppi di riflessione finiti sono gruppi di Weyl. [1] In astratto, i gruppi di Weyl sono gruppi di Coxeter finiti e ne sono esempi importanti.

Il gruppo di Weyl di un gruppo di Lie semisemplice, di un'algebra di Lie semisemplice, di un gruppo algebrico lineare semisemplice, ecc. è il gruppo di Weyl del sistema di radici di quel gruppo o algebra .

Definizione ed esempi modifica

 
Il gruppo di Weyl del sistema di radici di   è il gruppo di simmetria di un triangolo equilatero

Sia   un sistema di radici in uno spazio euclideo  . Per ogni radice  , sia   la riflessione rispetto all'iperpiano perpendicolare a  , data esplicitamente da

  ,

dove   il prodotto interno su   . Il gruppo di Weyl   di   è il sottogruppo del gruppo ortogonale   generato da tutti gli  . Per definizione di sistema di radici, ciascuno degli   conserva  , da cui segue che   è un gruppo finito.

Nel caso del sistema di radici di  , ad esempio, gli iperpiani perpendicolari alle radici sono solo linee e il gruppo di Weyl è il gruppo di simmetria di un triangolo equilatero, come indicato nella figura. Come un gruppo,   è isomorfo al gruppo di permutazione su tre elementi, considerabili come i vertici del triangolo. Si noti che in questo caso,   non è il gruppo di simmetria completo del sistema di radici; una rotazione di 60 gradi conserva   ma non è un elemento di   .

Si consideri anche il sistema di radici  . In questo caso,   è lo spazio di tutti i vettori in   le cui entrate si sommano a zero. Le radici sono costituite dai vettori della forma  , dove   è l' -esimo elemento base standard per   . La riflessione associata a tale radice è la trasformazione di   ottenuto scambiando il  - e   -esimi elementi di ciascun vettore. Il gruppo di Weyl per   è allora il gruppo di permutazione su   elementi.

Camere di Weyl modifica

 
La regione ombreggiata è la camera di Weyl fondamentale per la base  

Se   è un sistema di radici, si può considerare l'iperpiano perpendicolare a ciascuna radice  . Si ricordi che   denota la riflessione sull'iperpiano e che il gruppo di Weyl è il gruppo di trasformazioni di   generato da tutti i  . Il complemento dell'insieme degli iperpiani è disconnesso e ogni componente connesso è chiamato camera di Weyl. Se abbiamo fissato un particolare insieme di radici semplici, possiamo definire la camera fondamentale di Weyl associata a come l'insieme dei punti   tale che   per ogni  .

Dal momento che le riflessioni  ,  , conservano  , conservano anche l'insieme degli iperpiani perpendicolari alle radici. Pertanto, ogni elemento del gruppo di Weyl permuta le camere di Weyl.

La figura illustra il caso del sistema di radici  . Gli "iperpiani" (in questo caso, unidimensionali) ortogonali alle radici sono indicati da linee tratteggiate. I sei settori di 60 gradi sono le camere di Weyl e la regione ombreggiata è la camera di Weyl fondamentale associata alla base indicata.

Un teorema generale di base sulle camere di Weyl è questo:

Teorema: il gruppo di Weyl agisce liberamente e in modo transitivo sulle camere di Weyl. Pertanto, l'ordine del gruppo di Weyl è uguale al numero di camere di Weyl.

Un risultato correlato è questo:

Teorema: sia data una camera di Weyl  . Allora per tutti  , l'orbita di Weyl di   contiene esattamente un punto nella chiusura   di   .

Struttura di gruppo di Coxeter modifica

Gruppo generatore modifica

Un risultato chiave sul gruppo di Weyl è il seguente:

Teorema: se   è la base per  , allora il gruppo di Weyl è generato dalle riflessioni   insieme a   in   .

Vale a dire, il gruppo generato dalle riflessioni   è lo stesso del gruppo generato dalle riflessioni   .

Relazioni modifica

Nel frattempo, se   e   sono in  , quindi il diagramma di Dynkin per   rispetto alla base   dice qualcosa su come la coppia   si comporta. In particolare, si supponga che   e   sono i vertici corrispondenti nel diagramma di Dynkin. Allora abbiamo i seguenti risultati:

  • Se non c'è legame tra   e  , allora   e   commutano. Siccome   e   hanno ordine due, questo equivale a dire che   .
  • Se c'è un legame tra   e  , allora   .
  • Se ci sono due legami tra   e  , allora   .
  • Se ci sono tre legami tra   e  , allora   .

L'affermazione precedente non è difficile da verificare, ricordando semplicemente cosa dice il diagramma di Dynkin sull'angolo tra ciascuna coppia di radici. Se, per esempio, non c'è legame tra i due vertici, allora   e   sono ortogonali, da cui segue facilmente che le riflessioni corrispondenti commutano. Più in generale, il numero di legami determina l'angolo   tra le radici. Il prodotto delle due riflessioni è quindi una rotazione per angolo   nel piano attraversato da   e  , come il lettore potrà verificare, da cui consegue facilmente la suddetta affermazione.

Come gruppo di Coxeter modifica

I gruppi di Weyl sono esempi di gruppi di riflessione finiti, in quanto generati da riflessioni; i gruppi astratti (non considerati come sottogruppi di un gruppo lineare) sono di conseguenza gruppi di Coxeter finiti, il che consente loro di essere classificati dal loro diagramma di Coxeter-Dynkin. Essere un gruppo di Coxeter significa che un gruppo di Weyl ha un tipo speciale di presentazione in cui ogni generatore   è di ordine due, e le relazioni diverse da   sono della forma   . I generatori sono le riflessioni date da semplici radici, e   è 2, 3, 4 o 6 a seconda che le radici i e j formino un angolo di 90, 120, 135 o 150 gradi, cioè se nel diagramma di Dynkin sono scollegati, collegati da un arco semplice, collegati da un doppio arco o collegati da un triplo arco. Abbiamo già notato queste relazioni nell'elenco puntato sopra, ma per dire che   è un gruppo di Coxeter, stiamo dicendo che queste sono le uniche relazioni in   .

I gruppi di Weyl hanno un ordine di Bruhat e una funzione di lunghezza in termini di questa presentazione: la lunghezza di un elemento del gruppo di Weyl è la lunghezza della parola più corta che rappresenta quell'elemento in termini di questi generatori standard. C'è un unico elemento più lungo di un gruppo di Coxeter, che è opposto all'identità nell'ordine di Bruhat.

Note modifica


Bibliografia modifica

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

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