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In matematica, un gruppo nilpotente è un gruppo che ammette una serie centrale, ovvero una successione di sottogruppi normali

tale che ogni quoziente è contenuto nel centro di . Il minimo per cui ammette una serie centrale di lunghezza è detto indice (o classe) di nilpotenza di .

I gruppi nilpotenti formano una classe intermedia tra i gruppi abeliani e i gruppi risolubili; con i primi condividono il fatto di poter essere ricostruiti (almeno per la loro parte di torsione) dai sottogruppi di Sylow, mentre con i secondi la vicinanza ai gruppi abeliani mediante serie di sottogruppi.

I gruppi nilpotenti hanno un ruolo centrale nello studio dei gruppi di Lie; nella teoria delle algebre di Lie, un'analoga definizione porta al concetto di algebra di Lie nilpotente.

Indice

DefinizioneModifica

A partire da un gruppo  , possono essere definite due diverse catene di sottogruppi, una ascendente e una discendente.

La serie centrale ascendente è la successione   dove ogni   definito come   (dove   è il commutatore di   ed  ); equivalentemente,   è tale che   è il centro di  .

La serie centrale discendente è la successione  , dove   è il sottogruppo generato dagli elementi  , per ogni   e ogni  .

Un gruppo è nilpotente se la serie centrale ascendente arriva a   (cioè se   per qualche  ), o equivalentemente se la serie centrale discendente arriva al sottogruppo banale   (cioè se   per qualche  ); un'ulteriore condizione equivalente è l'esistenza di una serie centrale arbitraria, ovvero una successione di sottogruppi normali

 

in cui  . Se questo avviene, la lunghezza della serie centrale ascendente e di quella discendente sono uguali, e questo numero è la minima lunghezza di una serie normale di  : è detto indice (o classe) di nilpotenza di  .

EsempiModifica

Tutti i gruppi abeliani sono nilpotenti, in quanto ammettono la serie centrale  , e di conseguenza hanno indice di nilpotenza 1; viceversa, ogni gruppo con indice di nilpotenza 1 è abeliano.

Tutti i p-gruppi finiti sono nilpotenti e, in particolare, un gruppo con   elementi ha indice di nilpotenza al più  ; questo segue dal fatto che ogni p-gruppo ha centro non banale. Questo non vale se il gruppo è infinito: ad esempio, data una successione   di p-gruppi, in cui   ha indice di nilpotenza  , allora la somma diretta   è un p-gruppo la cui serie centrale ascendente non termina.

Un esempio di gruppo infinito non abeliano ma nilpotente è il gruppo di Heisenberg  .

Un gruppo il cui centro è banale non è mai nilpotente, in quanto la sua serie ascendente è stazionaria già a  .

ProprietàModifica

La proprietà di essere nilpotente si trasferisce ai sottogruppi e ai gruppi quoziente; se inoltre   ha indice di nilpotenza  , allora l'indice dei suoi sottogruppi e dei suoi quozienti è al più  . Analogamente, se il quoziente   è nilpotente di classe  , allora   è nilpotente di classe al più  . Il prodotto diretto di una quantità finita di gruppi nilpotenti è ancora nilpotente, e la sua classe di nilpotenza è uguale al massimo delle classi dei fattori.

Poiché i quozienti   sono contenuti nel centro di  , ogni quoziente è abeliano, e quindi una serie centrale è, in particolare, una serie normale; questo implica che ogni gruppo nilpotente è risolubile. L'implicazione non può essere rovesciata: ad esempio il gruppo simmetrico   è risolubile ma non nilpotente (in quanto il suo centro è banale).

Una delle proprietà più importanti dei gruppi nilpotenti è il loro legame con i loro sottogruppi di Sylow. Se infatti   è un gruppo nilpotente finito, allora tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali, e   stesso è il prodotto diretto dei sottogruppi di Sylow; dal momento che i p-gruppi sono nilpotenti, questo risultato classifica i gruppi nilpotenti finiti come i prodotti diretti di p-gruppi. Nel caso infinito, i sottogruppi di Sylow possono non generare l'intero gruppo (in quanto possono essere presenti elementi di ordine infinito), ma essi sono ancora normali nel gruppo, e il loro prodotto diretto è uguale al sottogruppo di torsione di  .

BibliografiaModifica

  • Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
  • J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Collegamenti esterniModifica

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