Idempotenza

In informatica, in matematica, e in particolare in algebra, l'idempotenza è una proprietà delle funzioni per la quale applicando molteplici volte una funzione data, il risultato ottenuto è uguale a quello derivante dall'applicazione della funzione un'unica volta.

In particolare può caratterizzare endofunzioni, ovvero operazioni unarie, operazioni binarie ed elementi di strutture algebriche dotate di un'operazione binaria, cioè elementi di magmi e di loro arricchimenti (in particolare di anelli e di algebre).

DefinizioneModifica

Un'operazione unaria idempotente entro un certo insieme   è una funzione del tipo:

 

Ogni endofunzione idempotente entro un qualsiasi insieme è un'unione funzionale di collassi. In particolare trasformazioni lineari idempotenti di uno spazio vettoriale   sono i proiettori sopra i sottospazi di  .

Un'operazione binaria idempotente entro un certo insieme   è una funzione del tipo:

 

Esempi di operazioni binarie idempotenti sono l'unione e la intersezione di insiemi, le operazioni logiche di AND e OR, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di interi positivi, le operazioni di giunzione o estremo superiore (sup) e di incontro o estremo inferiore (inf) di un reticolo o di un semireticolo.

Si osserva che la nozione di endofunzione idempotente si riconduce a quella di operazione binaria idempotente relativa al caso particolare dell'operazione di composizione di endofunzioni.

Se   è una struttura algebrica avente   come insieme sostegno e   operazione binaria, si dice elemento idempotente della struttura ogni e di   tale che  . In particolare nell'algebra delle matrici sopra un generico campo   sono elementi idempotenti le matrici quadrate diagonali aventi tutte le entrate della diagonale principale uguali a   o   (si osserva che esse costituiscono rappresentazioni di proiettori). Tra le matrici sui reali e sui complessi sono idempotenti anche le matrici quadrate aventi autovalori soltanto   e  . Nell'algebra delle relazioni sono idempotenti le relazioni di equivalenza.

Idempotenza in informaticaModifica

Il termine idempotenza viene usato in accezioni corrispondenti a quella matematica riportata qui sopra, applicato a "funzioni" in senso informatico (ovvero subroutine che producono un valore di ritorno). Lo stesso termine viene usato anche in senso più lato per riferirsi a funzioni prive di effetti collaterali. In questo senso, una funzione è idempotente se non vi è alcuna differenza osservabile fra l'effetto di una singola attivazione della funzione e di N sue attivazioni consecutive effettuate con input identico.

Voci correlateModifica

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