Identità di Pohozaev

identità matematica impiegata nello studio delle equazioni ellittiche semilineari e non lineari

L'identità di Pohozaev, o teorema di Pohozaev, è un importante risultato di analisi matematica impiegato nello studio delle equazioni ellittiche semilineari e non lineari. Esso, tramite un'identità, mette in relazione il comportamento di una soluzione di un'equazione differenziale ellittica sul bordo del dominio dove l'equazione è definita con il comportamento della soluzione all'interno del dominio stesso. Quindi in tutti i problemi in cui sono date le condizioni al bordo, si possono derivare importanti informazioni circa il comportamento delle soluzioni all'interno del dominio partendo dal loro comportamento della soluzione sul bordo del dominio, che è dato dal problema stesso. Questo risultato si presta in diversi modi a derivare stime di grandezze importanti nello studio delle equazioni ellittiche, come ad esempio la norma (vedi Spazio Lp) del gradiente della soluzione.

Enunciato modifica

Sia   e sia   un dominio regolare e limitato. Sia  , dove   indica la chiusura topologica di  , una soluzione classica dell’equazione   in  , con   continua.[1]

Allora, denotando con   il versore normale esterno su   e con   una primitiva di  , si ha:

 

dove   indica la misura sul bordo di  .

Caso di condizioni al bordo di Dirichlet modifica

Nel caso in cui valga anche una condizione di Dirichlet omogenea, ossia l'equazione è del tipo

 

sappiamo per il principio del massimo che   dunque si ha che   Quindi,

 

Usando queste due identità si ottiene che

 

Inoltre,  e dall'equazione stessa si ottiene che

 

Infine, essendo   si ha che   per ogni   in  . Usando le identità appena ottenute nell'identità di Pohozaev, essa si riduce a[2]

 

Note modifica

  1. ^ Annamaria Canino, Condizione sulla crescita di "g" e identità di Pohozaev (PDF), in Problemi ellittici in assenza di compattezza, SISSA, 1983, p. 4. URL consultato il 15 maggio 2020.
  2. ^ S. Kesavan, Functional analysis and application, Wiley, 1988, p. 237.

Bibliografia modifica

Voci correlate modifica

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