Indice di avvolgimento

L'indice di avvolgimento di una curva piana, chiusa e parametrizzata, rispetto ad un punto esterno ad essa è un numero intero che rappresenta intuitivamente il numero di avvolgimenti che compie la curva attorno a (immaginando la curva come un filo e il punto come un chiodo).

Introduzione informale modifica

 
Un oggetto che si muove lungo la curva rossa fa due giri antiorari intorno alla persona mostrata in figura.

L'indice di avvolgimento di una curva piana intorno ad un punto si ottiene contando il numero di volte in cui questa curva gira in senso antiorario intorno al punto. Nel caso in cui la curva segua un percorso orario invece che antiorario, tale numero è negativo. Per percorsi semplici come quelli mostrati qui sotto, determinare il numero di avvolgimento è relativamente semplice.

                   
−2 −1 0
                   
1 2 3

Nel caso in cui una curva sia più complicata, definire e determinare il numero di avvolgimento è però meno banale: la curva può infatti cambiare direzione e verso più volte durante il percorso, come mostrato ad esempio nella figura a destra.

Definizione matematica modifica

 

L'indice di avvolgimento di una curva   sul piano rispetto al punto   è un numero intero che indica il numero di multipli di un angolo giro che vengono spazzati dal vettore che congiunge   con un punto   della curva quando   compie un giro in senso antiorario lungo la curva (una sola volta) nel verso della sua orientazione fino a tornare nella posizione di partenza. Tale numero sarà per una curva chiusa un numero intero, eventualmente negativo e può essere indicato con la notazione  

Una definizione rigorosa può essere data nel seguente modo: data una curva   sul piano ed un punto   non appartenente alla curva, si consideri una funzione   che parametrizza la curva   al variare di   sulla circonferenza, allora la rotazione della curva attorno al punto   è descritta dalla funzione da   in sé definita da

 

e l'indice di avvolgimento della curva si definisce come il numero   tale che   è omotopa alla funzione definita in coordinate angolari da

 

Mediante gli strumenti e le notazioni dell'analisi complessa si può dimostrare che

 

Questa formula stabilisce un collegamento tra l'indice di avvolgimento e il teorema dei residui.

Corollari modifica

ν(γ,p) è un numero intero modifica

Sia   una curva chiusa e sia  . Sia   l'indice di   rispetto a  . Allora   è un numero intero.

Dimostrazione modifica

Innanzitutto, vale

 

Consideriamo la seguente funzione integrale

 

e poniamo   Dimostriamo, ora, che  . Osserviamo che

 

o equivalentemente:

 

Utilizzando quest'ultima espressione, si ottiene:

 

In altre parole,   è una funzione costante. Di conseguenza

 

ossia

 

Dal fatto che   è una curva chiusa. cioè  , vale  . Dalla definizione di  , si ha   se e solo se   è un numero intero.

La funzione ν(γ,p) è continua su Ω e costante sulle componenti connesse di Ω modifica

Sia   una curva chiusa e sia  . La funzione   è continua su  , ed inoltre è costante sulle componenti connesse di  .

Proprietà modifica

L'indice di avvolgimento è un invariante topologico: se un intorno contenente la curva   e il punto esterno   viene mandato in un altro insieme aperto mediante un omeomorfismo   allora l'immagine della curva   è ancora una curva che ha rispetto al punto   lo stesso indice di avvolgimento che ha   rispetto a  .

L'indice di avvolgimento è anche un invariante omotopico: se la curva viene deformata con continuità nel piano privato del punto   (ossia senza mai toccare il punto durante la deformazione) l'indice rimane lo stesso. L'indice rimane invariato anche se il punto viene spostato con continuità senza attraversare mai la curva. L'indice può cambiare se durante la deformazione la curva e il punto si incontrano.

Voci correlate modifica

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