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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente.

L'indipendenza di vettori in può essere verificata tramite il determinante della matrice ottenuta affiancando le n-uple che esprimono i vettori in una data base: questi sono indipendenti precisamente quando la matrice che formano ha determinante diverso da zero. Questo procedimento di calcolo è però in generale dispendioso, e conviene piuttosto utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jordan.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo  . Dati   elementi di  , si dice che essi sono linearmente indipendenti su   se in tale campo la relazione:

 

è verificata solo se gli elementi   sono tutti uguali a zero.[1]

Se invece tali n-uple di elementi non nulli del campo esistono, allora si dice che   elementi di   sono linearmente dipendenti.

La definizione si estende anche ad un insieme infinito di vettori di  : questi sono linearmente indipendenti se lo sono tutti i sottoinsiemi finiti.

Il concetto di indipendenza lineare è di grande importanza, poiché un insieme di vettori linearmente indipendenti forma una base per il sottospazio da lui generato, e quindi il loro numero risulta essere la dimensione di questo spazio.

Lo spazio proiettivo delle dipendenze lineariModifica

Si consideri l'insieme   costituito dai vettori  . Si dice dipendenza lineare per   un vettore   di   diverso da   tale che:

 

Se una tale dipendenza lineare esiste, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti. Data una dipendenza lineare   per un insieme   di   vettori, ogni vettore   proporzionale ad essa, con   appartenente a  , è una dipendenza lineare per lo stesso  . Questo rende lecito identificare due dipendenze lineari l'una multipla non nulla dell'altra.

In conseguenza di tale identificazione, l'insieme di tutte le dipendenze lineari per l'insieme costituito dai vettori   è uno sottospazio dello spazio proiettivo  .

EsempiModifica

Nel pianoModifica

I vettori   e   in   sono linearmente indipendenti.

Infatti, siano   e   due numeri reali tali che:

 

allora:

 

cioè:

 

risolvendo per   e  , si trova   e  .

Base canonicaModifica

Sia   e si considerino i seguenti elementi in  :

 
 
 
 

allora   sono linearmente indipendenti.

Infatti, si supponga che   siano elementi di   tali che:

 

Poiché:

 

allora   per ogni   in  .

FunzioniModifica

Sia   lo spazio vettoriale di tutte le funzioni da   in  . Indicando con   la variabile reale, le funzioni   ed   in   sono linearmente indipendenti.

Infatti, si supponga che   e   siano due numeri reali tali che:

 

per ogni valore di  . Si deve dimostrare che   e  . A questo scopo si differenziano entrambi i membri della precedente relazione per avere:

 

Sottraendo la prima relazione dalla seconda, si ottiene:

 

e, considerando il valore particolare  , si ha  .

Dalla prima relazione allora:

 

e di nuovo per   si trova  .

NoteModifica

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 40.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Stephen, Arnold, Lawrence Friedberg, Insel, Spence, Linear Algebra, Pearson, 4th Edition, pp. 48-49, ISBN 0-13-008451-4.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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