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I punti del piano cartesiano che soddisfano la relazione formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio . I punti tali che sono disegnati in rosso. L'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso, mentre la sola parte disegnata in rosso forma un insieme aperto.

In matematica, in particolare in topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico è chiuso se il suo complementare è aperto. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso, infatti una definizione equivalente alla precedente è la seguente: è chiuso se contiene la sua frontiera.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico:

  1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
  2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
  3. l'intero insieme e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia degli aperti complementari.

Indice

EsempiModifica

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
  • gli intervalli  , con   e   numeri reali finiti;
  • gli intervalli   e  , con   e   numeri reali finiti;
  • i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
  • l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • gli intervalli   e  , con   e   numeri reali finiti;
  • il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

  • un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
  • un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a   dimensioni. Più in generale l'insieme

     

    dove   è un punto dello spazio ed   un numero reale, è un insieme chiuso dello spazio metrico   con topologia indotta dalla metrica  .

ProprietàModifica

BibliografiaModifica

  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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