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Insieme convesso.
Insieme non convesso.

In uno spazio euclideo un insieme convesso è un insieme nel quale, per ogni coppia di punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell'insieme.

Esempi di insiemi convessi sono cerchi, sfere, cubi, piani, semipiani, trapezi, mentre non lo sono archi di circonferenze, tori o qualunque insieme che contenga buchi o incavature o che non sia connesso. In tre dimensioni, esempi di insiemi convessi sono la sfera, il cubo, il paraboloide, mentre esempi di insiemi non convessi sono il toro, l'iperboloide iperbolato. In termini più intuitivi una figura convessa è una figura "che esubera", mentre una figura concava è una figura "che rientra". In insiemistica non si adopera la definizione di insieme concavo, bensì la nozione più articolata di spazio connesso.

Nello studio delle funzioni, si può definire una funzione convessa come funzione il cui epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano.

Indice

Spazi vettorialiModifica

Sia   uno spazio vettoriale. Un insieme   si dice convesso se per ogni coppia di punti   il segmento che li congiunge:

 

è interamente contenuto in  .[1]

Un insieme bilanciato e convesso è detto assolutamente convesso.

ProprietàModifica

  • Si può inoltre dimostrare che l'intersezione di due insiemi convessi è ancora un insieme convesso. Infatti, siano X e Y due insiemi convessi, e A e B due punti appartenenti a  . Allora, siccome X è convesso e contiene sia A che B, contiene anche il segmento AB. Altrettanto si può dire di Y. Quindi il segmento AB appartiene ad entrambi gli insiemi, e dunque alla loro intersezione. Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di  , l'intersezione è un insieme convesso.
  • Si dimostra che in ogni insieme   convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento   tale che:
 

Esempi di insiemi convessiModifica

Si consideri lo spazio euclideo  .

  • Un semispazio di   è il sottoinsieme   con   e  . I semispazi sono sottoinsiemi convessi, infatti: dati due punti  , per ogni   si ha:
 
e quindi  ,
  • Data una norma   su   e un numero reale  , la palla chiusa   è un sottoinsieme convesso,
  • Data una norma   su   e un numero reale  , il cono di norma   è un sottoinsieme convesso.

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 78

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • Stephen Boyd e Lieven Vandenberghe, Convex optimization, Cambridge university Press, 2004, ISBN 978-0521833783.

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