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In matematica, l'insieme di Vitali, che prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali, fornisce un esempio di sottoinsieme di che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva, invariante per traslazioni e sigma-finita (in particolare non è misurabile rispetto alla misura di Lebesgue). Per la costruzione dell'insieme di Vitali è indispensabile l'assioma della scelta.

La costruzione procede nel seguente modo:

  • Si definisce sui numeri reali dell'intervallo la seguente relazione di equivalenza: si dice che è equivalente a se la loro differenza è un numero razionale.
  • Si considera l'insieme di tutte le classi di equivalenza indotte dalla relazione appena definita. Queste devono essere una infinità non numerabile, poiché se fossero un'infinità numerabile avremmo che l'insieme stesso sarebbe numerabile (in quanto unione numerabile di insiemi numerabili).
  • Per l'assioma della scelta esiste un insieme che contiene esattamente un rappresentante di ogni classe, chiamiamolo : è l'insieme di Vitali.

Dimostrazione della non misurabilità dell'insieme Modifica

L'insieme di Vitali ha le seguenti proprietà:

  • Se lo si trasla di una quantità pari ad un qualsiasi numero razionale strettamente positivo, occuperà punti completamente diversi da quelli che occupava inizialmente. Più formalmente, l'insieme   e il suo traslato   sono disgiunti per qualsiasi  . Questo perché se per assurdo fosse  , dove   con  , esisterebbero   distinti, e quindi con   essendo rappresentanti di diverse classi di equivalenza, tali che  . Ma allora,  , ovvero  , che è assurdo avendo osservato che   per ogni   distinti.
  • Dato un qualunque punto  , questo apparterrà a qualcuna delle traslazioni   con  : infatti   apparterrà a qualcuna delle classi di equivalenza definite sopra, e dato che in   c'è un rappresentante di ogni classe, allora in   c'è un punto che dista da   una quantità pari ad un numero razionale.

Dalle proprietà enunciate discende la non misurabilità di   nel caso in cui la misura   verifichi le seguenti proprietà:

  • per ogni insieme   si verifica l'invarianza per traslazioni, ovvero  .
  • positività:  
  • si verifica   per ogni  ,  . Grazie all'invarianza per traslazioni, affinché valga questa condizione è sufficiente assumere che   è una misura sigma-finita.

Per dimostrare la non misurabilità di   rispetto alla misura   si assume che sia definito il valore di   e si ricava una contraddizione con le ipotesi. Si consideri l'insieme ottenuto unendo tutte le possibili traslazioni di   di numeri razionali compresi tra   e  . A tale scopo, si prenda inizialmente una enumerazione   dei razionali di  , e si definisca l'insieme:

 

Si osserva che   perché   è un insieme limitato (  e quindi viene dalla terza proprietà di  ). Poiché   è un'unione disgiunta di insiemi, per le proprietà delle misure si ha che:

 

e per l'invarianza di   per traslazioni:

 

ma poiché la quantità a sinistra dell'uguaglianza è finita, la relazione appena scritta implica che  , e quindi anche  . Si è osservato prima, tuttavia, che ogni   si trova in uno dei  , quindi   deve includere tutto l'intervallo  . Ma allora, dalle proprietà delle misure, si ha   e si è visto che quest'ultima è nulla, quindi   e per l'invarianza per traslazioni si deve avere anche  , il che contraddice le ipotesi su  .

BibliografiaModifica

  • Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer, 2006, p. 120.
  • Giuseppe Vitali, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, in Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905.

Voci correlateModifica