Insieme di Vitali

In matematica, l'insieme di Vitali, che prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali, fornisce un esempio di sottoinsieme di $\mathbb {R}$ che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva, invariante per traslazioni e sigma-finita (in particolare non è misurabile rispetto alla misura di Lebesgue). Per la costruzione dell'insieme di Vitali è indispensabile l'assioma della scelta.

La costruzione procede nel seguente modo:

• Si definisce sui numeri reali dell'intervallo $[0,1]$ la seguente relazione di equivalenza: si dice che $x$ è equivalente a $y$ se la loro differenza è un numero razionale.
• Si considera l'insieme di tutte le classi di equivalenza indotte dalla relazione appena definita. Queste devono essere una infinità non numerabile, poiché se fossero un'infinità numerabile avremmo che l'insieme $[0,1]$ stesso sarebbe numerabile (in quanto unione numerabile di insiemi numerabili).
• Per l'assioma della scelta esiste un insieme che contiene esattamente un rappresentante di ogni classe, chiamiamolo $V$: è l'insieme di Vitali.

Dimostrazione della non misurabilità dell'insieme $V$

L'insieme di Vitali ha le seguenti proprietà:

• Se lo si trasla di una quantità pari ad un qualsiasi numero razionale strettamente positivo, occuperà punti completamente diversi da quelli che occupava inizialmente. Più formalmente, l'insieme $V$ e il suo traslato $V+q$ sono disgiunti per qualsiasi $q\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}$. Questo perché se per assurdo fosse $V\cap T_{q}(V)\neq \emptyset$, dove $T_{q}(V)=V+q$ con $q\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}$, esisterebbero $x,y\in V$ distinti, e quindi con $(y-x)\notin \mathbb {Q}$ essendo rappresentanti di diverse classi di equivalenza, tali che $y=T_{q}(x)$. Ma allora, $y=x+q$, ovvero $(y-x)=q\in \mathbb {Q}$, che è assurdo avendo osservato che $(y-x)\notin \mathbb {Q}$ per ogni $x,y\in V$ distinti.
• Dato un qualunque punto $x\in [0,1]$, questo apparterrà a qualcuna delle traslazioni $V+q$ con $q\in \mathbb {Q}$: infatti $x$ apparterrà a qualcuna delle classi di equivalenza definite sopra, e dato che in $V$ c'è un rappresentante di ogni classe, allora in $V$ c'è un punto che dista da $x$ una quantità pari ad un numero razionale.

Dalle proprietà enunciate discende la non misurabilità di $V$ nel caso in cui la misura $\mu$ verifichi le seguenti proprietà:

• per ogni insieme $A$ si verifica l'invarianza per traslazioni, ovvero $\mu (x+A)=\mu (A)$.
• positività: $\mu (\mathbb {R} )\neq 0$
• si verifica $\mu ([a,b])<\infty$ per ogni $a$, $b$. Grazie all'invarianza per traslazioni, affinché valga questa condizione è sufficiente assumere che $\mu$ è una misura sigma-finita.

Per dimostrare la non misurabilità di $V$ rispetto alla misura $\mu$ si assume che sia definito il valore di $\mu (V)$ e si ricava una contraddizione con le ipotesi. Si consideri l'insieme ottenuto unendo tutte le possibili traslazioni di $V$ di numeri razionali compresi tra $-1$ e $1$. A tale scopo, si prenda inizialmente una enumerazione $q_{1},q_{2},q_{3},\dots$ dei razionali di $[-1,1]$, e si definisca l'insieme:

$U=(V+q_{1})\cup (V+q_{2})\cup \dots \cup (V+q_{n})\cup \dots$

Si osserva che $\mu (U)<\infty$ perché $U$ è un insieme limitato ($U\subset [-1,2]$ e quindi viene dalla terza proprietà di $\mu$). Poiché $U$ è un'unione disgiunta di insiemi, per le proprietà delle misure si ha che:

$\mu (U)=\mu (V+q_{1})+\mu (V+q_{2})+\dots +\mu (V+q_{n})+\dots$

e per l'invarianza di $\mu$ per traslazioni:

$\mu (U)=\mu (V)+\mu (V)+\dots +\mu (V)+\dots$

ma poiché la quantità a sinistra dell'uguaglianza è finita, la relazione appena scritta implica che $\mu (V)=0$, e quindi anche $\mu (U)=0$. Si è osservato prima, tuttavia, che ogni $x\in [0,1]$ si trova in uno dei $V+q_{n}$, quindi $U$ deve includere tutto l'intervallo $[0,1]$. Ma allora, dalle proprietà delle misure, si ha $\mu ([0,1])\leq \mu (U)$ e si è visto che quest'ultima è nulla, quindi $\mu ([0,1])=0$ e per l'invarianza per traslazioni si deve avere anche $\mu (\mathbb {R} )=0$, il che contraddice le ipotesi su $\mu$.

Bibliografia

• Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer, 2006, p. 120.
• Giuseppe Vitali, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, in Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905.

Voci correlate

• Assioma della scelta
• Insieme misurabile
• Misura (matematica)

• Paradosso di Banach-Tarski