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In algebra lineare, un sottoinsieme di un insieme dotato di struttura algebrica è un insieme di generatori per se tutti gli elementi di possono essere ottenuti dagli elementi di , tramite combinazioni di operazioni definite su .

Più in generale, se è un sottoinsieme di , l'insieme generato da è il più piccolo sottoinsieme di chiuso rispetto alle operazioni definite su contenente

Nei casi più frequenti, è un gruppo, un anello o uno spazio vettoriale.

Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i gruppi finitamente generati e gli spazi vettoriali di dimensione finita.

GruppiModifica

Sia   un gruppo e   un sottoinsieme di  . Il sottogruppo   generato da   è il più piccolo sottogruppo di   che contiene  . Se   è l'insieme vuoto,   è dunque il sottogruppo banale  . Se   non è vuoto, allora   consiste di tutti gli elementi che possono essere espressi come prodotto di elementi di   e dei loro inversi.

Gruppo ciclicoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: gruppo ciclico.

Quando   ha un solo elemento  , allora si abbrevia  . In questo caso   è il sottogruppo ciclico formato da tutte le potenze di  .

In generale, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un solo elemento.

Gruppo finitamente generatoModifica

Un gruppo   è finitamente generato se ha un insieme finito di generatori. Elenchiamo alcuni esempi e proprietà dei gruppi finitamente generati.

  • Ogni gruppo finito   è finitamente generato, poiché   stesso è un insieme di generatori.
  • Gli interi formano un gruppo finitamente generato, ma non finito.
  • I numeri razionali formano un gruppo che non è finitamente generato.
  • Il prodotto diretto di due gruppi finitamente generati è finitamente generato.
  • Un quoziente di un gruppo finitamente generato è finitamente generato. Invece un sottogruppo di un gruppo finitamente generato può non essere finitamente generato.

AnelliModifica

Sia   un anello e   un suo sottoinsieme. Il sottoanello   generato da   è il più piccolo sottoanello di   che contiene gli elementi di  . Esso è costituito da tutte le combinazioni di somme e prodotti degli elementi di   e dei loro opposti.

Spazi vettorialiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Copertura lineare.

Sia   uno spazio vettoriale definito su un campo  . Un insieme di generatori   dello spazio vettoriale   è un insieme di vettori di   tali che ogni vettore di   è una combinazione lineare di un numero finito di elementi di  . In termini più formali: sia   un insieme di indici, un insieme di generatori   di   è un insieme di vettori siffatto:

 

La definizione fornita tiene conto del caso più generale, ossia quello in cui un insieme di generatori possa essere costituito da un numero infinito di elementi. Nel caso in cui l'insieme di generatori   sia costituito da un numero finito di elementi, la definizione è equivalente alla seguente:

 

Si possono immediatamente dedurre alcune proprietà:

  • La base di uno spazio vettoriale è sempre un insieme di generatori; al contrario, un insieme di generatori non è necessariamente una base.
  • La minima cardinalità di un insieme   di generatori per   è la dimensione di  .

Una definizione equivalente può essere fornita facendo uso, come segue, dell'operatore   (copertura lineare)[1]. Un insieme di vettori   è un insieme di generatori per lo spazio vettoriale   se e solo se  . In particolare, un insieme finito di vettori   è un insieme di generatori per lo spazio vettoriale   se e solo se  .

NoteModifica

  1. ^ Marco Abate, Geometria, Milano, McGraw-Hill, 1996, pp. 31, 76.

BibliografiaModifica

  • (EN) Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, New York, Springer-Verlag, 1980, ISBN 0-387-09212-9.
  • (EN) Arfken, G. "Generators." §4.11 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 261–267, 1985.
  • Marco Abate, Geometria, Milano, McGraw-Hill, 1996.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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