Insieme limite

In matematica, l'insieme limite di una successione consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:

dove è la chiusura di .

Nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite di un'orbita di un sistema dinamico per un punto iniziale è l'insieme dei punti tali per cui esiste una successione di istanti temporali tale che per .

Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico; esempi particolarmente studiati sono gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.

Sistemi dinamici discretiModifica

Sia   uno spazio metrico e sia   una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto. L'insieme  -limite di un punto  , indicato con  , è l'insieme di tutti i punti di accumulazione della successione   formata dalle orbite passanti per  :

 

In altri termini,   se e solo se c'è una successione strettamente crescente di numeri naturali   tale che   con  .

Se   è un omeomorfismo si può definire in modo simile l'insieme  -limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:

 

Entrambi gli insiemi sono  -invarianti e se   è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.

Sistemi dinamici continuiModifica

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:

 

sia   la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale  , con   la corrispondente orbita (l'immagine del flusso). Un punto   è detto punto  -limite della soluzione   (punto  -limite dell'orbita  ) se esiste una successione   di istanti temporali tali che:[1]

 
 

L'insieme  -limite di   è l'insieme di tutti i punti  -limite di   (di  ).

L'insieme  -limite si definisce analogamente come l'insieme di tutti i punti  -limite della traiettoria  , cioè i punti tali che   per   e  .

NoteModifica

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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