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Insieme nullo (teoria della misura)

un insieme misurabile la cui misura è zero

Nella teoria della misura, un insieme nullo è un insieme trascurabile ai fini della misura usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi si dovrebbe parlare di insiemi m-nulli per la data misura m.

DefinizioneModifica

Sia X uno spazio misurabile, sia m una misura su X, e sia N un insieme misurabile in X. Se m è una misura positiva, allora N è nullo se e solo se la sua misura m(N) è zero. Se m non è una misura positiva, allora N è m-nullo se N è |m|-nullo, dove |m| è la variazione totale di m; questo è più forte che richiedere m(N) = 0.

Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un sottoinsieme di un insieme misurabile nullo. Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.

Parlando di insiemi nulli nell'n-spazio euclideo Rn è di solito sottinteso che la misura usata è quella di Lebesgue.

ProprietàModifica

L'insieme vuoto è sempre un insieme nullo. Più in generale, ogni unione numerabile di insiemi nulli è nulla. Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo. Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi m-nulli di X formano un sigma-ideale su X. Allo stesso modo gli insiemi m-nulli misurabili formano un sigma-ideale della sigma-algebra degli insiemi misurabili. Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come insiemi trascurabili, definendo una nozione di quasi ovunque.

Nella misura di LebesgueModifica

Per la misura di Lebesgue su Rn, tutti gli insiemi di un punto sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli. In particolare, L'insieme Q dei numeri razionali è un insieme nullo, nonostante sia denso in R. L'insieme di Cantor è un esempio di insieme nullo non numerabile in R.

Più in generale, un sottoinsieme N di R è nullo se e solo se:

Dato un qualsiasi numero positivo ε, esiste una successione {In} di intervalli tali che N è contenuto nell'unione degli In e la lunghezza totale degli In è minore di ε.

Questa condizione può essere generalizzata a Rn, usando n-cubi al posto degli intervalli. Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni varietà topologica, anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.

ApplicazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio Lp e Spazio di misura.
  • Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'integrale di Lebesgue: se le funzioni f e g sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora f è integrabile se e solo se g lo è, e gli integrali sono uguali.
  • Uno spazio di misura in cui tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto completo.

Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero. La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una misura di Borel non completa.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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