Integrale di Darboux

In analisi matematica, l'integrale di Darboux è una delle possibili definizioni di integrale di una funzione.

La definizione di integrale data da Gaston Darboux è del tutto equivalente a quella data da Bernhard Riemann, tuttavia gli integrali definiti con il metodo di Darboux hanno il vantaggio di essere più semplici da definire rispetto a quelli di Riemann, in virtù dell'approccio più costruttivo della loro definizione.

DefinizioneModifica

Si consideri una funzione continua  , che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione   in   intervalli  .

 
Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo). Da notare che la funzione rappresentata nel grafico è stata scelta positiva solo per comodità.

Per ogni intervallo della partizione si definiscono le due quantità:

 

Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione   limitatamente all'intervallo  . Tali valori esistono per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo.

Si definisce somma inferiore di Darboux, di   relativa alla partizione  , il numero reale:

 

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di   relativa alla partizione  , il numero reale:

 

Esiste un lemma che afferma che, data:

 

allora per ogni coppia di partizioni   di   si ha:

 

Al variare di ogni partizione   di   siano:

 

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi   e   sono separati, cioè:

 

L'assioma di Dedekind sulla completezza di   afferma allora che esiste almeno un numero reale   tale che:

 

Se vi è un unico elemento di separazione   tra   e   allora si dice che   è integrabile in secondo Darboux o Darboux-integrabile   e l'elemento   si indica con:

 

Integrale multiplo di DarbouxModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale multiplo.

Sia   un dominio normale,   limitata e   una misura. Sia   una partizione di   in domini normali.

Si definisce somma inferiore di Darboux, di   relativa alla partizione  , il numero reale:

 

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di   relativa alla partizione  , il numero reale:

 

In virtù di un lemma che riguarda i domani normali e le loro partizioni, si può concludere che:

 

Pertanto   si dice Darboux-integrabile in   se   e in tal caso si pone che:

 

Proprietà degli integraliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Proprietà dell'integrale di Riemann.

Darboux-integrabilità e Riemann-integrabilitàModifica

In generale una funzione è Darboux-integrabile se e solo se è Riemann-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

LinearitàModifica

Siano   e   due funzioni continue definite in un intervallo   e siano  . Allora:

 

AdditivitàModifica

Sia   continua e definita in un intervallo   e sia  . Allora:

 

MonotoniaModifica

Siano   e   due funzioni continue definite in un intervallo   e  . Allora:

 

Teorema del confrontoModifica

Siano   e   due funzioni continue definite in un intervallo   e tali che   in  . Allora:

 

Valore assolutoModifica

Sia   integrabile in un intervallo  , allora si ha:

 

Teorema della media integraleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della media integrale e Teorema della media pesata.

Se   è continua allora esiste   tale che:

 

Limitandosi ad integrali su intervalli di  , sia dato un intervallo  , con  .

Scrivendo  , se   è una funzione reale limitata definita su   e   una partizione di   si pone:

 

dove   sono calcolati al variare di tutte le partizioni di   , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore. Se i due integrali sono uguali,   si dice Riemann-integrabile ( ), e si definisce l'integrale di Riemann di   su   il valore comune dei due integrali:

 

Dato che ogni funzione limitata esistono   tali che   per ogni   si ha:

 

gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Si mostra che   se e solo se per ogni   esiste una partizione   tale che  . Se tale condizione è verificata, allora:

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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