Integrale di Fresnel

Gli integrali di Fresnel, e , sono due funzioni speciali trascendenti introdotte in ottica dall'ingegnere francese Augustin-Jean Fresnel per studiare i fenomeni della diffrazione.

Grafico degli integrali di Fresnel normalizzati: e .

DefinizioneModifica

Esse sono definite attraverso le seguenti rappresentazioni:

 
Grafico degli stessi integrali non normalizzati:   e  .
 
 

anche se altri autori preferiscono definirle senza il   nell'argomento di seno e coseno.

ProprietàModifica

  •   e   sono funzioni dispari.
  •  
  •  
  • Gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati in forma chiusa in termini di funzioni elementari, salvo casi particolari. Infatti essi convergono all'infinito e si ha:
     

Dimostrazione limite per x tendente all'infinitoModifica

Poiché gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati coi metodi tradizionali, una possibile dimostrazione di

 

sfrutta l'analisi complessa e il risultato dell'integrale di Gauss  . L'integrale di partenza può essere scritto come parte reale di un numero complesso secondo quella che è la forma polare di un numero complesso:

 
 
Curva semplice chiusa   nel piano complesso, suddivisa in  ,   e  .

Per calcolare il secondo integrale si sfrutta il teorema di Cauchy-Goursat scegliendo come cammino chiuso di integrazione la curva chiusa   suddivisibile nei tre tratti  ,   e   come in figura:

 

Questa operazione si può fare perché la funzione   è analitica in  , che è semplicemente connesso.

Nel piano complesso   ha equazione  , con   variabile; per ricondursi all'integrale della gaussiana si impone che l'inclinazione di tale retta sia tale che  , ovvero  . Il terzo integrale diventa quindi

 

che per  , ovvero  , vale

 

La curva   può essere parametrizzata come  , questa volta con   variabile. Il secondo integrale diventa

 

Per  ,   e  , e vale la disuguaglianza  . Ponendo  , è possibile fare la seguente maggiorazione:

 

e dal teorema del confronto, segue che per   il secondo integrale vale  .

La curva  , infine, può essere parametrizzata come  . Dal teorema di Cauchy-Goursat

 

L'integrale di Fresnel cercato diventa perciò

 

come volevasi dimostrare.

Relazione con altre funzioni specialiModifica

 

dove   denota una funzione ipergeometrica confluente.

La relazione con la funzione degli errori è:

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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