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Rappresentazione grafica dell'approssimazione numerica dell'integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo ad essere stata formulata.

Indice

Costruzione dell'integraleModifica

Si consideri la partizione   di un intervallo chiuso   in   sottointervalli   di uguale ampiezza, e si consideri una funzione limitata   definita su  .

Per ogni intervallo della partizione si possono definire due punti:

 

che corrispondono all'ordinata minore   nell'intervallo e all'ordinata maggiore   dell'intervallo. Si definisce somma integrale inferiore relativa alla partizione   il numero:

 

Ammettendo che   assuma valori positivi nell'intervallo, la somma integrale inferiore è la somma delle aree dei rettangoli inscritti alla regione del piano. Analogamente, si definisce somma integrale superiore relativa alla partizione   il numero:

 

La somma integrale superiore è quindi la somma delle aree dei rettangoli circoscritti alla regione. Si ponga:

 

si dimostra che per ogni coppia di partizioni   e   di   si ha:

 

Per ogni possibile partizione   di   si definiscono:

 

Dal lemma precedente si può dedurre che gli insiemi   e   sono separati cioè:

 

L'assioma di completezza di   afferma che allora esiste almeno un numero reale   tale che:

 

Se vi è un unico elemento di separazione   tra   e   allora si dice che   è integrabile in   secondo Riemann. L'elemento   si indica con:

 

e si chiama integrale definito di   in  . I numeri   e   sono detti estremi di integrazione ed   è detta funzione integranda. La variabile di integrazione è una variabile "muta" o "apparente": nulla cambia se ne viene cambiato il nome e   è detto differenziale della variabile di integrazione.

DefinizioneModifica

L'integrale secondo Riemann di   nell'intervallo chiuso e limitato   è definito come il limite per   che tende ad infinito della somma integrale:

 

detta somma integrale di Riemann. Se tale limite esiste, è finito e non dipende dalla scelta dei punti  , si ha:

 

L'esistenza di un unico elemento separatore tra   e   nella definizione è equivalente a richiedere che:

 

La funzione limitata   è integrabile in   se e solo se per ogni   esiste una partizione   di   tale per cui:

 

Se la funzione integrabile   è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione, mentre se la funzione   cambia segno su   allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

ProprietàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Proprietà dell'integrale di Riemann.

LinearitàModifica

Siano   e   due funzioni continue definite in un intervallo   e siano  . Allora:

 

AdditivitàModifica

Sia   continua e definita in un intervallo   e sia  . Allora:

 

MonotoniaModifica

Siano   e   due funzioni continue definite in un intervallo   e  . Allora:

 

Valore assolutoModifica

Sia   integrabile in un intervallo  , allora si ha:

 

Integrale di StieltjesModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: integrale di Riemann-Stieltjes e integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

 .

Se la funzione   è differenziabile, vale la formula  , e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di  , cioè:

 .

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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