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Integrale di Riemann

Rappresentazione grafica dell'approssimazione numerica dell'integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo a essere stata formulata.

DefinizioneModifica

Si consideri una funzione continua  , che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione   in   intervalli  . Si definisce il calibro di una partizione   il massimo tra le ampiezze di tutti gli intervalli della partizione scelta, cioè

 

Per ogni intervallo   di ogni partizione si scelga arbitrariamente un elemento   e si definisca la somma di Riemann come:

 

Alcune scelte comuni sono

  •   in tal caso si ha una somma sinistra di Riemann;
  •   in tal caso si ha una somma destra di Riemann;
  •   in tal caso si ha una somma media di Riemann.

La funzione   è integrabile secondo Riemann o Riemann-integrabile in   se esiste finito il limite (che si dimostra non dipendere dalla scelta dei  ):

 

Integrale multiplo di RiemannModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale multiplo.

Sia   un dominio normale,   limitata e   una misura. Sia   una partizione di   in domini normali.

Si definisce la somma di Riemann-Darboux come:

 

In generale la funzione   è integrabile in   se esiste finito il limite:

 

ProprietàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Proprietà dell'integrale di Riemann.

Riemman-integrabilità e Darboux-integrabilitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Darboux.

In generale una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è Darboux-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

LinearitàModifica

Siano   e   due funzioni continue definite in un intervallo   e siano  . Allora:

 

AdditivitàModifica

Sia   continua e definita in un intervallo   e sia  . Allora:

 

MonotoniaModifica

Siano   e   due funzioni continue definite in un intervallo   e  . Allora:

 

Valore assolutoModifica

Sia   integrabile in un intervallo  , allora si ha:

 

Integrale di StieltjesModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: integrale di Riemann-Stieltjes.

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

 .

Se la funzione   è differenziabile, vale la formula  , e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di  , cioè:

 .

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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