Integrale di volume

In matematica, in particolare nel calcolo in più variabili, un integrale di volume è l'integrale di superficie della funzione costante , e fornisce il volume della superficie considerata.

DefinizioneModifica

Si definisce elemento di volume in   la k-forma:

 

Sia   una k-superficie positivamente orientata in   e   la funzione costante definita sull'immagine di  . Allora:

 

Sia   il dominio di parametrizzazione di   e   iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana   positiva. Allora il volume della superficie è dato da:[1]

 

Volume in tre dimensioniModifica

L'integrale di volume è un integrale triplo della funzione costante 1, che restituisce il volume della regione  , cioè:

 

Con "integrale di volume" si identifica anche l'integrale triplo calcolato nella regione   di una funzione   ed è generalmente scritto:

 

Un integrale di volume in coordinate cilindriche è:

 

mentre un integrale di volume in coordinate sferiche ha la forma:

 

EsempioModifica

Integrando la funzione   su un cubo di spigolo unitario si ottiene il seguente risultato:

 

Quindi il volume del cubo unitario è 1 come previsto. In realtà, l'integrale di volume permette di risolvere problemi molto più complessi. Per esempio se abbiamo una funzione scalare   che descrive la densità del cubo in un punto assegnato   da   si può calcolare la massa totale del cubo calcolando l'integrale di volume:

 

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 286.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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