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In analisi matematica, l'integrale improprio o generalizzato è il limite di un integrale definito al tendere di un estremo di integrazione (o entrambi) ad un numero reale oppure all'infinito.

Gli integrali impropri si utilizzano per rendere calcolabili integrali riguardanti intervalli illimitati e/o funzioni non limitate, che non sono trattabili con l'integrale di Riemann. Esso richiede infatti la limitatezza sia per l'intervallo di integrazione, sia per la funzione integranda.

Indice

DefinizioneModifica

Un integrale improprio è un limite della forma:

 

oppure:

 

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Integrazione su intervalli illimitatiModifica

 
Un esempio

Si possono presentare tre casi:

  • Sia   continua. Allora si pone:
 
Ad esempio:
  se  
  • Sia   continua. Allora si pone:
 
Ad esempio:
 
per   intero non negativo.
  • Sia   continua. Allora si pone, sfruttando la proprietà dell'additività:
 
dove   è un punto qualunque. Ad esempio:
 

Se il limite da calcolare esiste finito si dice che la funzione f è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente. Se invece il limite vale   o   si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste.

Integrazione con integranda illimitataModifica

 
Un esempio

Si possono presentare tre casi:

  • Sia   continua divergente in  . Allora si pone:
 
Ad esempio:
 
  • Sia   continua divergente in  . Allora si pone:
 
Ad esempio:
 
  • Sia   continua divergente in   e in  . Allora si pone:
 

Se in uno di questi casi il limite esiste finito si dice che la funzione   è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente, mentre se il limite vale   o   si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste.

Condizioni di integrabilità all'infinitoModifica

Se esiste il limite di   per   che tende a  , allora condizione necessaria affinché un integrale sia convergente è che la funzione sia limitata al divergere dell'argomento. Infatti, se ciò non accadesse sarebbe possibile individuare una costante   tale che sia   per  , e per la monotonia e l'additività dell'integrale si avrebbe:

 

in quanto il secondo addendo è uguale al prodotto tra una costante non nulla e la misura dell'intervallo  , che è infinita. Si possono avere anche dei casi in cui l'integrale sia convergente, ma il limite della funzione non esista. Ad esempio, data una funzione   che vale   se   è intero e   in ogni altro punto, si ha che tale funzione non converge a   (è possibile trovare una successione di valori della funzione che è costantemente 1) ma ha integrale  , perché l'area sotto la funzione in ogni intervallo finito è  .

Una condizione necessaria e sufficiente affinché   esista finito è che per ogni   esista   tale che per ogni   si abbia:

 

Criteri di integrabilità all'infinitoModifica

Siano   e   due funzioni definite nell'intervallo  . Riprendendo la teoria dei limiti si possono definire due criteri di integrabilità.

Criterio del confrontoModifica

Se si verifica che:

 

per una certa costante  , allora si ha che:

  • se   è integrabile in   allora anche   è integrabile in  
  • se   è divergente in   allora anche   è divergente in  

Criterio del confronto asintoticoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Stima asintotica § Successioni asintotiche.

Se  ,   e   per   tendente ad infinito (quando cioè il limite del rapporto tra le funzioni è un numero finito diverso da zero), allora   è integrabile se e solo se   è integrabile. Inoltre, se   allora   è integrabile se   è integrabile.

Criterio della convergenza assolutaModifica

Data una funzione  , l'integrale improprio di   tra due estremi   si dice assolutamente convergente se converge l'integrale di   tra   e  .

Se un integrale improprio è assolutamente convergente allora è convergente, mentre non vale l'implicazione inversa. Il criterio della convergenza assoluta si usa quando   non presenta segno costante in un intorno dell'estremo in cui l'integrale è improprio, ed è quindi impossibile usare gli altri criteri.

Voci correlateModifica

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