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Integrazione per parti

In matematica, il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali. Se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della derivata di una funzione e della primitiva dell'altra

Il metodoModifica

Siano   e   due funzioni continue e derivabili in  . La derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:

 

Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene:

 

(Attenzione: abbiamo tacitamente supposto che gli integrali al secondo membro dell'equazione esistano).

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:

 

quindi per risolvere un integrale possiamo sfruttarla nella seguente forma:

 

La forza di questo metodo risiede nella capacità di individuare, fra le due funzioni   e  , quella più facilmente derivabile/integrabile in maniera da poterla utilizzare per eliminare la difficoltà di integrazione insorta.

Volendo applicare il procedimento appena eseguito su un intervallo di integrazione   si ottiene

 

cioè:

 

EsempiModifica

  • Vogliamo svolgere per parti
 

Poniamo   e   nell'espressione:

 

ottenendo:

 
 
 
  • Vogliamo risolvere per parti:
 

Poniamo   e   nell'espressione, come in precedenza:

 

cioè:

 
 
 

Formule ricorsive di integrazioneModifica

Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo. Ad esempio:

 

Usando il metodo di integrazione per parti:

 
 

Dunque:

 

quindi abbiamo ottenuto che:

 

A questo punto possiamo calcolare tutti gli   integrali di questo tipo:

 
 
 

Più dimensioniModifica

La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n-dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale.

Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di   con un bordo ∂Ω. Se u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è

 

dove   è la normale alla superficie unitaria uscente da ∂Ω, νi è la sua i-esima componente, con i che va da 1 a n. Sostituendo v nella formula precedente con vi e sommando su i si ottiene la formula vettoriale

 

dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti vi

Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza. Con   dove  , si ottiene

 

che è la prima identità di Green.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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