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Numero intero

numero ottenibile tramite sottrazione di due numeri naturali
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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando informazioni sul tipo di dato utilizzato in informatica, vedi Numero intero (informatica).

I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri interi negativi (−1, −2, −3,...), costruiti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z o , perché è la lettera iniziale di “Zahl” che in tedesco significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi).

Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali.

I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale; formalmente questo fatto si esprime dicendo che è un anello commutativo, ma non un campo.

Indice

Proprietà algebricheModifica

Come i numeri naturali,   è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero,   (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se   e   sono interi, anche   lo è. Tuttavia,   non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio  ) non è necessariamente un numero intero.

La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero  ,   e  .

addizione moltiplicazione
chiusura: a + b   è un intero a × b   è un intero
proprietà associativa: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
proprietà commutativa: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
esistenza dell'elemento neutro: a + 0  =  a a × 1  =  a
esistenza dell'elemento opposto: a + (−a)  =  0
proprietà distributiva: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

GruppoModifica

Nel linguaggio dell'algebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che   è un gruppo abeliano con l'operazione somma. In particolare,   è un gruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte   oppure  . Il gruppo   è l'unico gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è isomorfo a  .

AnelloModifica

Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che   con l'operazione prodotto forma un monoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero   tale che  . Quindi   non è un gruppo se considerato con l'operazione prodotto.

Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che   con l'addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con unità. In effetti   è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che   non è un campo.

L'anello   è inoltre un dominio d'integrità, perché non contiene divisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo   dei numeri razionali.

Algoritmo di EuclideModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: algoritmo di Euclide e teorema fondamentale dell'aritmetica.

Anche se la divisione ordinaria non è definita su  , è possibile usare l'algoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi   e   con  , esistono e sono unici due interi   e   tali che

 

dove   è il valore assoluto di  . L'intero   è chiamato il quoziente e   è chiamato il resto, risultanti dalla divisione di   con  .

L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo. Inoltre, per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di numeri primi. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di   un anello euclideo.

CardinalitàModifica

La cardinalità di un insieme di interi è equivalente a   (aleph-zero). Ciò è dimostrabile tramite la costruzione di una corrispondenza biunivoca (ovvero una funzione sia iniettiva che suriettiva) fra   e  . Considerando  , tale corrispondenza è la funzione   tale che:

 

Mentre considerando   è la funzione   tale che:

 

Ogni membro di   avrà uno ed un solo membro corrispondente in   (o  ), pertanto i due insiemi hanno la stessa cardinalità.

OrdinamentoModifica

L'insieme   è un insieme totalmente ordinato senza estremo superiore o inferiore. L'ordine di   è dato da

 

Un numero intero è positivo se è maggiore dello zero e negativo se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.

L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:

  1. se   e  , allora  ;
  2. se   e  , allora  .

Definizione formaleModifica

Più semplicemente: se   e   sono due qualsiasi numeri relativi si dice che   è maggiore di  , e si scrive  , se esiste un numero naturale   tale che  . L'insieme   può essere definito a partire dall'insieme   dei numeri naturali tramite il concetto di insieme quoziente. Si consideri il prodotto cartesiano  , ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali  . Si consideri la seguente relazione  

 

Questa è una relazione di equivalenza, infatti è:

  • riflessiva:  , infatti  
  • simmetrica: se   con  , allora   e quindi  
  • transitiva: se   e  , allora
 ,  , sommando
 , semplificando
 , quindi
 

Si definisce   come l'insieme quoziente di   con la relazione  :

 

A questo punto è facile dimostrare che ogni classe di equivalenza   contiene uno e un solo elemento nella forma   con   oppure  . In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:

  •  
  •  
  •  

Si dimostra facilmente che esiste un isomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di   costituito dagli elementi del tipo  . In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.

OperazioniModifica

Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:

 
 

Si verifica che le operazioni sono compatibili con la relazione d'equivalenza, e che si traducono nelle normali operazioni di somma e prodotto degli interi tramite la notazione appena introdotta. Ad esempio:

 

Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme   con queste operazioni è un anello commutativo.

Voci correlateModifica

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