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In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'intersezione (simbolo ) di due insiemi e è l'insieme degli elementi che appartengono sia all'insieme che all'insieme contemporaneamente.

L'intersezione è una operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore AND e, in logica, alla congiunzione.

Indice

DefinizioneModifica

L'intersezione di due insiemi   e   si denota comunemente con  . Quindi   è un elemento di   se e solo se   è un elemento degli insiemi   e   contemporaneamente, in simboli:

 

Più in generale, data una famiglia qualsiasi   di insiemi, l'intersezione è definita come quell'insieme   a cui un elemento   appartiene se e solo se   appartiene ad ognuno degli  .

ProprietàModifica

 
Diagramma di Eulero-Venn per l'intersezione.
 
Intersezione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

Dalla definizione segue immediatamente che l'intersezione è un'operazione commutativa, in simboli:

 

Infatti

 

L'intersezione è inoltre un'operazione associativa:

 

Infatti

 
 

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'intersezione di più di due insiemi, scrivendo semplicemente  .

EsempiModifica

Come esempio elementare si devono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi)   e  . In questo caso si può verificare direttamente per ogni elemento di   se è anche elemento di   (o viceversa), ottenendo

 

Un esempio un po' più astratto è dato da due insiemi definiti tramite determinate proprietà dei loro elementi: siano   l'insieme dei numeri interi divisibili per   e   l'insieme dei numeri interi divisibili per  . In questo caso,   è l'insieme dei numeri interi divisibili sia per   che per  , ovvero tutti i numeri interi divisibili per  .

Gli insiemi dei numeri pari e dei numeri dispari sono disgiunti; infatti un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari. L'intersezione di questi due insiemi è quindi l'insieme vuoto.

BibliografiaModifica

  • Thomas Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald Rivest, Sets, Etc., in Introduction to Algorithms, 20ª ed., Cambridge, Massachusetts, The MIT Press, 1998.

Voci correlateModifica

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