Intersezione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'intersezione (simbolo $\cap$) di due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono a entrambi gli insiemi contemporaneamente.

L'intersezione è un'operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore AND e, in logica, alla congiunzione.

Definizione

L'intersezione di due insiemi $A$ e $B$ si denota comunemente con $A\cap B$. Quindi $x$ è un elemento di $A\cap B$ se e solo se $x$ è un elemento degli insiemi $A$ e $B$ contemporaneamente, in simboli:

$(x\in A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B).$

Più in generale, data una famiglia qualsiasi $\{A_{\alpha },\alpha \in {\mathcal {I}}\}$ di insiemi, l'intersezione è definita come quell'insieme $\cap _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }$ a cui un elemento $x$ appartiene se e solo se $x$ appartiene ad ognuno degli $A_{\alpha }$.

Proprietà

Diagramma di Eulero-Venn per l'intersezione.

Intersezione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

Dalla definizione segue immediatamente che l'intersezione è un'operazione commutativa, in simboli:

$A\cap B=B\cap A.$

Infatti

$x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\Leftrightarrow x\in B\wedge x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.$

L'intersezione è inoltre un'operazione associativa:

$\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right).$

Infatti

$x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\wedge x\in C\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\wedge x\in C\Leftrightarrow$

$x\in A\wedge x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).$

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'intersezione di più di due insiemi, scrivendo semplicemente $A\cap B\cap C$.

Esempi

Come esempio elementare si devono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{2,3,4\}$. In questo caso si può verificare direttamente per ogni elemento di $A$ se è anche elemento di $B$ (o viceversa), ottenendo

$A\cap B=\{2,3\}.$

Un esempio un po' più astratto è dato da due insiemi definiti tramite determinate proprietà dei loro elementi: siano $A$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $4$ e $B$ l'insieme dei numeri interi divisibili per $6$. In questo caso, $A\cap B$ è l'insieme dei numeri interi divisibili sia per $4$ che per $6$, ovvero tutti i numeri interi divisibili per $12$.

Gli insiemi dei numeri pari e dei numeri dispari sono disgiunti; infatti un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari. L'intersezione di questi due insiemi è quindi l'insieme vuoto.

Storia

Il simbolo ∩, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∪, ⊂, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.

Bibliografia

• Thomas Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald Rivest, Sets, Etc., in Introduction to Algorithms, 20ª ed., Cambridge, Massachusetts, The MIT Press, 1998.

Voci correlate

• Unione
• Insieme complemento
• Teoria degli insiemi
• Intersezione in geometria descrittiva: incidenza (geometria descrittiva)
• Sistema di equazioni per determinare l'intersezione tra gli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni del sistema.

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