Spazio proiettivo

In geometria, lo spazio proiettivo è lo spazio ottenuto da uno spazio euclideo (ad esempio, la retta o il piano) aggiungendo i "punti all'infinito". A seconda della dimensione, si parla quindi di retta proiettiva, piano proiettivo, ecc.

Lo spazio proiettivo è stato introdotto nel XVI secolo per modellizzare lo spazio visto dall'occhio umano, negli studi sulla prospettiva. Dal punto di vista geometrico, è uno spazio che presenta numerosi vantaggi rispetto a quello euclideo o affine: nello spazio proiettivo ci sono meno "casi particolari" da considerare (ad esempio, nel piano due rette si intersecano sempre), e molti concetti profondi vengono espressi in modo più sintetico ed elegante.

Definizioni

Punti all'infinito

Sia $\mathbb {R} ^{n}$ lo spazio euclideo $n$-dimensionale. Ad esempio, per $n=2$ questo è semplicemente il piano cartesiano. Un "punto all'infinito" è la direzione indicata da una retta nello spazio, e da tutte le rette parallele ad essa. Quindi due rette definiscono lo stesso punto all'infinito se e solo se sono parallele.

Lo spazio proiettivo $n$-dimensionale è l'unione di $\mathbb {R} ^{n}$ e di tutti i suoi "punti all'infinito".

A questo punto si possono estendere allo spazio proiettivo molti concetti geometrici usuali. Ne risulterà, ad esempio, che due rette di uno stesso piano si intersecano sempre: se hanno la stessa direzione (cioè erano parallele prima dell'ampliamento), il loro punto di intersezione è quello all'infinito.

Rette passanti per l'origine

Lo spazio proiettivo è lo spazio visto da un occhio.

Una definizione come quella appena data ha però il difetto di trattare i punti all'infinito come "punti speciali", mentre la filosofia della geometria proiettiva è quella di non distinguere questi punti dagli altri in nessun modo. In effetti si può parlare sia di ampliamento proiettivo di uno spazio affine (si ottiene lo spazio proiettivo aggiungendo i punti all'infinito), oppure più facilmente si usa la seguente definizione.

Lo spazio proiettivo $n$-dimensionale è definito come l'insieme delle rette in $\mathbb {R} ^{n+1}$ passanti per l'origine.

Intuitivamente, è lo spazio che vede un occhio posizionato nell'origine. Questa definizione descrive chiaramente le relazioni con la prospettiva.

Campo arbitrario

Le definizioni appena date possono essere estese al caso in cui lo spazio di partenza sia uno spazio vettoriale su un campo $K$ arbitrario, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi. Questa estensione è utile, perché molti teoremi di geometria proiettiva sono più potenti ed eleganti se il campo base è algebricamente chiuso come i complessi.

Lo spazio proiettivo $n$-dimensionale su $K$ è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in $K^{n+1}$. Cioè,

$\mathbb {P} ^{n}(K)={\frac {K^{n+1}\setminus \{0\}}{\sim }}$

dove $\sim$ è la relazione d'equivalenza che identifica due punti se e solo se stanno sulla stessa retta passante per l'origine, cioè se e solo se sono multipli:

$v\sim w\Longleftrightarrow v=kw$ per qualche $k\in K,k\neq 0$.

Ad esempio, $(1,2,-3)$ e $(-2,-4,6)$ sono multipli e danno quindi luogo allo stesso punto.

Nel resto di questa voce lo spazio proiettivo è supposto definito in questo modo, dipendente da un campo $K$.

Invarianti

Le omografie sono il gruppo fondamentale della geometria proiettiva.

Sono proprietà proiettive:

• essere sottospazi lineari aventi una certa dimensione,
• le proprietà di incidenza,
• il birapporto di quattro punti.

L'assoluto è il cerchio immaginario all'infinito, in coordinate omogenee $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0,x_{4}=0$, cioè il luogo dei punti ciclici per cui passano tutte e sole le sfere (superfici quadriche sferiche) dello spazio proiettivo.

Sottospazi

Definizione

Poiché uno spazio proiettivo è l'immagine di uno spazio vettoriale tramite la proiezione

$p:K^{n+1}\to \mathbb {P} ^{n}(K)$

indotta dalla relazione di equivalenza, molte nozioni degli spazi vettoriali si trasferiscono senza problemi sullo spazio proiettivo.

Un sottospazio proiettivo di $\mathbb {P} ^{n}(K)$ è definito come l'immagine $p(W)$ di un sottospazio vettoriale $W$ di $K^{n+1}$ tramite $p$.

La dimensione del sottospazio proiettivo $p(W)$ è definita come

$\dim p(W)=\dim W-1.$

In geometria, la codimensione di un sottospazio è generalmente definita come la dimensione dello spazio che lo contiene meno quella del sottospazio: ne segue che $W$ e $p(W)$ hanno la stessa codimensione

${\rm {codim\,}}W=n+1-\dim W=n-\dim p(W)={\rm {codim\,}}p(W).$

Un iperpiano proiettivo è un sottospazio di codimensione uno.

Dati due sottospazi $S$ e $T$, è possibile definire i sottospazi intersezione e somma in modo analogo, come immagini tramite $p$ dei sottospazi intersezione e somma in $K^{n+1}$.

Formula di Grassmann

Una delle proprietà basilari valide in uno spazio proiettivo, ereditata dagli spazi vettoriali, ma che non è valida in uno spazio affine, è la formula di Grassmann per i sottospazi. Dati due sottospazi $S$ e $T$, vale cioè l'uguaglianza

$\dim(S+T)=\dim S+\dim T-\dim(S\cap T)$

dove si intende che il punto ha dimensione 0 (come sempre) e l'insieme vuoto ha dimensione $-1$.

Rette parallele

Come conseguenza della formula di Grassmann, due rette nel piano si intersecano sempre. Infatti

$\dim(S\cap T)=\dim S+\dim T-\dim(S+T)=1+1-\dim(S+T)\geq 0$

poiché $S+T$ ha dimensione al più 2 (ogni sottospazio del piano ha dimensione al massimo 2, e 2 solo se è tutto il piano).

Coordinate omogenee e carte affini

Coordinate omogenee

Ogni punto dello spazio proiettivo è una classe di equivalenza di punti in $K^{n+1}$. Come è usuale in matematica, una classe di equivalenza viene descritta tra parentesi quadre: in questo modo,

$[(x_{0},\ldots ,x_{n})]$

definisce la classe a cui appartiene il vettore $(x_{0},\ldots ,x_{n})$. Per brevità, tale classe si indica con

$[x_{0},\ldots ,x_{n}].$

Questa espressione fra parentesi quadre definisce le coordinate omogenee del punto. Due vettori di coordinate determinano la stessa classe (cioè lo stesso punto)

$[x_{0},\ldots ,x_{n}]=[y_{0},\ldots ,y_{n}]$

se e solo se sono uno multipli dell'altro, cioè se esiste un $k$ in $K$ tale che $y_{i}=kx_{i}$ per ogni $i$.

Punti impropri

Con le coordinate omogenee è possibile recuperare la definizione originaria di spazio proiettivo come spazio affine a cui si aggiungono dei punti. Basta definire $E$ come il sottoinsieme formato dai punti $[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ tali che $x_{0}\neq 0$. Ogni punto in $E$ si scrive come

$[1,x_{1},\ldots ,x_{n}]$

in modo univoco, e quindi tramite la funzione

$[1,x_{1},\ldots ,x_{n}]\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{n})$

definiamo una corrispondenza biunivoca tra $E$ e lo spazio affine $K^{n}$. I punti dello spazio proiettivo che non sono in $E$ hanno in questo contesto il ruolo dei "punti all'infinito". Ciascuno di questi punti è del tipo

$[0,x_{1},\ldots ,x_{n}]$

e la funzione

$[0,x_{1},\ldots ,x_{n}]\mapsto [x_{1},\ldots ,x_{n}]$

definisce una corrispondenza biunivoca tra i punti all'infinito e lo spazio proiettivo $\mathbb {P} ^{n-1}(K)$ di dimensione più piccola di uno. Quindi i "punti all'infinito" ad esempio del piano proiettivo formano una retta proiettiva, detta retta all'infinito o retta impropria. In dimensione arbitraria, si parla di iperpiano improprio.

Carte e atlante

La stessa descrizione è fattibile per ogni $i=0,\ldots ,n$ definendo $E_{i}$ come l'insieme dei punti la cui $i$-esima coordinata è non nulla. Per ogni $i$ si ottiene quindi un differente iperpiano improprio, e una differente carta affine $E_{i}$.

Il nome "carta" deriva dalla proprietà seguente: l'unione degli $E_{i}$ è tutto lo spazio, quindi le carte "ricoprono" tutto lo spazio proiettivo, mentre ciascuna di esse ne descrive solo una parte, proprio come le carte geografiche.

Agli $E_{i}$ possono essere associate le mappe $f_{i}:E_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$, che rendono $\mathbb {P} ^{n+1}$ una varietà differenziabile. L'insieme delle coppie

$\{(E_{0},f_{0}),\ldots ,(E_{n},f_{n})\}$

è detto atlante affine.

Le mappe $f_{i}$ sono, banalmente, le affinizzazioni degli $E_{i}$: ad esempio, il punto $(x_{0}:x_{1}:...:x_{n+1})\in E_{0}$, viene mandato tramite $f_{0}$ in $(x_{1}/x_{0},x_{2}/x_{0},...,x_{n+1}/x_{0})\in \mathbb {R} ^{n}$

Definizione più astratta

Lo spazio proiettivo può essere definito in modo analogo a partire da un qualsiasi spazio vettoriale $V$ su un campo $K$:

Lo spazio proiettivo associato a $V$ è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in $V$. Cioè,

$\mathbb {P} (V)={\frac {V\setminus \{0\}}{\sim }}$

dove

$v\sim w\Longleftrightarrow v=kw$ per qualche $k\in K,k\neq 0$.

In questo contesto, la definizione data precedentemente corrisponde al caso in cui $V=K^{n}$. In generale, lo spazio $V$ può avere anche dimensione infinita.

Esiste uno strumento simile alle basi che permette di assegnare ad ogni punto di $\mathbb {P} (V)$ delle coordinate omogenee, nel caso in cui $V$ abbia dimensione finita $n$. Come per gli spazi vettoriali, non esiste un modo univoco di assegnare tali coordinate: queste dipendono dalla scelta di un riferimento proiettivo, l'analogo proiettivo delle basi.

Voci correlate

• Geometria proiettiva
• Coordinate omogenee
• Retta proiettiva
• Piano proiettivo
• Prospettiva
• Sfera di Riemann
• Grassmanniana

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio proiettivo, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Spazio proiettivo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.