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L'ipotesi di de Broglie afferma che ai corpi materiali, e in particolare alle particelle, sono associate le proprietà fisiche tipiche delle onde.[1]

Formulata nel 1924 da Louis de Broglie, trovò presto conferma sperimentale[2] e dette un impulso fondamentale allo sviluppo della meccanica quantistica.

Indice

Premesse storicheModifica

La meccanica quantistica nacque dalle numerose evidenze sperimentali che all'inizio del ventesimo secolo risultavano inspiegabili secondo la fisica classica. Lo studio dello spettro della radiazione di corpo nero portò agli inizi del XX secolo Planck e Einstein ad avanzare l'ipotesi che la luce fosse composta da pacchetti d'energia discreti elementari chiamati "quanti".[3][4] Si scoprì quindi che la luce non può essere considerata semplicemente come un'onda elettromagnetica, in quanto alcuni fenomeni mettono in evidenza una sua natura corpuscolare.

La scoperta dell'esistenza degli atomi e dell'elettrone pose ulteriori difficoltà alla meccanica classica, secondo la quale un elettrone in moto circolare attorno al nucleo avrebbe dovuto perdere energia emettendo radiazione elettromagnetica finendo per collassare in contrasto con l'evidente stabilità della materia.[5] Il modello atomico di Bohr cercò di superare il problema, ma la difficoltà non fu risolta perchè la definizione dei livelli energetici discreti dell'elettrone era ricavata in modo empirico senza una precisa base teorica.

Analogia fra ottica geometrica e dinamica di una particellaModifica

Secondo le soluzioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto, la luce monocromatica di frequenza assegnata   si propaga lungo una direzione individuata dal vettore d'onda   ed i cui campi elettromagnetici sono descritti da una funzioni del tipo:

(1) 

dove

(2) 

è la pulsazione o frequenza angolare. L'ampiezza A può essere identificata con una componente del campo elettrico o magnetico, in modo che   sia proporzionale all'intensità dell'onda. Questa onda è un tipico esempio di onda piana nel senso che il suo fronte d'onda è un piano ortogonale al vettore d'onda ed è individuato dall'equazione:

 

Col passare del tempo il moto del fronte d'onda si muove in concordanza di fase secondo la:

(3) 

I punti nello spazio identificati da   che soddisfano la (3) sono equispaziati di

(4) 

dove   è la lunghezza d'onda della radiazione luminosa: questi punti sono raggiunti dall'onda ad intervalli

(5) 

per cui il fronte d'onda avanza con velocità di fase:

(6) 

che nel vuoto per la luce monocromatica:   cioè per tutte le frequenze la velocità di fase coincide con la velocità della luce.

In un mezzo omogeneo, lineare e isotropo invece la velocità di fase è uguale a:

(7) 

dove   è l'indice di rifrazione del materiale, anche se l'onda rimane un'onda piana.

Se il mezzo in cui viaggia l'onda non è omogeneo, l'indice di rifrazione varia da punto a punto e quindi l'onda non è più piana, ma soddisfa la condizione:

(8) 

In tal caso in base al principio di Huygens il raggio luminoso segue la direzione:

(9) 

Il cammino percorso dal raggio luminoso per andare da un punto A ad un punto B può dedursi dal principio di Fermat, secondo il quale l'onda percorre la traiettoria che minimizza il tempo di percorrenza:

(10) 

dove L è il cammino ottico. Allora il cammino ottico deve soddisfare:

(11) 

da cui segue l'equazione iconale:

(12) 

Possiamo arrivare alle stesse conclusioni risolvendo l'equazione di D'Alembert:

(13) 

soddisfatta proprio da una funzione tipo (1):

(14) 

Sostituendo la (14) nella (13), nell'ipotesi di ampiezza costante:

(15) 

dove:

 

vediamo che, prendendo la parte reale della (15), questa si riscrive:

(16) 

da cui si ricava un analogo risultato alla (12).

Qualora invece di avere una onda monocromatica si abbia un gruppo di onde ognuna con una sua frequenza allora ognuna di esse soddisfa un'equazione di D'Alembert, ognuna viaggia con una sua velocità di fase (6) o (7). Per onde luminose nel vuoto che viaggiano tutte con la stessa velocità di fase l'insieme di onde può essere descritto da una sola equazione (13). In un mezzo invece ogni onda del gruppo viaggia con una sua velocità di fase, il risultato è una sovrapposizione di onde e si può definire una velocità globale detta velocità di gruppo data:

(17) 

Vediamo le analogie già alcune individuate da Hamilton con il moto di una particella di massa   e velocità   e quindi che viaggia con impulso  . Classicamente se ne può sempre determinare la traiettoria identificando l'impulso della particella in ogni istante. L'energia della particella libera è:

 

seguendo la meccanica classica si può definire la funzione azione:

 

che è straordinariamente simile alla (3), così che l'equazione cui deve soddisfare la dinamica di una particella diventa:

 

e la condizione

 

simile alla (2) implica che il piano:

 

simile alla (9) avanza nella direzione di   e perpendicolare ad esso, con velocità:

 

ed esplicitamente:

 

Se la particella viaggia in un campo di forze conservativo   allora l'energia:

 

conserva l'equazione di Hamilton-Jacobi con azione:

 

e dove esplicitamente:

 

L'analogia tra l'impulso

 

e l'indice di rifrazione dato dalla (12) e la funzione W che gioca un ruolo analogo al cammino ottico della (12) con la condizione:

 

che identifica un piano e in presenza di potenziale invece:

 

identifica una superficie non più piana come per l'ottica geometrica, sembra identificare la particella viaggiante con velocità di fase:

 

In effetti il principio di Maupertuis:

 

permette di trovare tra le infinite traiettorie quella effettiva della particella esattamente come succede con il principio di Fermat per il raggio luminoso.

Ipotesi di De BroglieModifica

L'analogia tra ottica geometrica e la dinamica di una particella permise a de Broglie di ipotizzare che ai corpi materiali, e in particolare alle particelle microscopiche, si potesse associare anche un'onda, portando al concetto di dualismo onda-particella e successivamente al principio di complementarità enunciato da Bohr.

Utilizzando le analogie tra ottica geometrica e dinamica particellare, la legge di Planck e la dimostrazione di Einstein sull'effetto fotoelettrico, de Broglie associò alla radiazione un aspetto particellare sotto forma di quanti di energia   ognuno di impulso di modulo:

 

dove h è la costante di Planck, la cui direzione è quella del vettore d'onda k. Inoltre de Broglie utilizzò l'analogia tra la velocità di fase di un'onda che attraversa un mezzo (7) con la velocità di una particella che attraversa un campo di forze:

 

L'analogia tra il principio di Fermat e il principio di minima azione di Maupertuis permise a de Broglie di supporre che esistesse una proporzionalità diretta tra l'azione W della particella e la fase dell'onda secondo la costante di proporzionalità:

 

In definitiva l'estensione dell'analogia di associare alla particella un'onda:

 

con pulsazione   e vettore d'onda   che si muove con velocità:

 

e impulso:

 

dove   è detta anche lunghezza d'onda di de Broglie. Questa analogia riflette il dualismo onda-particella, e può essere formulata come principio di complementarità, secondo il quale si predilige l'aspetto ondulatorio o corpuscolare della materia, a seconda del tipo di strumento utilizzato per l'osservazione.

NoteModifica

  1. ^ (FR) Louis De Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta, in Ann. Phys., vol. 10, nº 3, 1925, pp. 22 - 128, DOI:10.1051/anphys/192510030022.
  2. ^ Thomson, G. P., Diffraction of Cathode Rays by a Thin Film (PDF), in Nature, vol. 119, nº 3007, 1927, pp. 890–890, Bibcode:1927Natur.119Q.890T, DOI:10.1038/119890a0.
  3. ^ Max Planck, "Ueber die Elementarquanta der Materie und der Eletricität", in Annalen der Physik, vol. 2, 1900, p. 564.
  4. ^ A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (Su un punto di vista euristico riguardo alla produzione e alla trasformazione della luce) (PDF), in Annalen der Physik, vol. 17, 1905, pp. 132-148.
  5. ^ (EN) Niels Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules, Part I (PDF), in Philosophical Magazine, vol. 26, nº 151, 1913, DOI:10.1080/14786441308634955.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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