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Lagrangiana

Funzione di un sistema fisico

In meccanica razionale, in particolare nella meccanica lagrangiana, la Lagrangiana di un sistema fisico è una funzione che ne caratterizza la dinamica, essendo per i sistemi meccanici la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale in ogni punto del percorso seguito durante il moto. In accordo con il principio di minima azione, un sistema fisico in moto tra due punti segue un cammino che, tra tutti i percorsi possibili, è quello che minimizza l'azione, ovvero l'integrale della Lagrangiana rispetto al tempo. A partire da ciò vengono scritte le equazioni del moto di Eulero-Lagrange.

Nel descrivere sistemi fisici, l'invarianza della Lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate determina la presenza di quantità conservate durante il moto, ovvero di costanti del moto, in accordo con il teorema di Noether.

DefinizioneModifica

La Lagrangiana   di un sistema fisico con   gradi di libertà è definita come la differenza tra l'energia cinetica   e l'energia potenziale totale  :

 

dove   denota le coordinate generalizzate,   le rispettive velocità e   è il tempo. Nei sistemi conservativi, dove cioè l'energia potenziale   non dipende dal tempo e l'energia si conserva, la Lagrangiana risulta a sua volta indipendente dalla variabile temporale. Infatti, considerando un punto materiale di massa  , ha l'espressione:

 

Se la Lagrangiana è nota, allora l'equazione del moto del sistema può essere scritta nella forma di equazioni di Eulero-Lagrange. La Lagrangiana di un sistema può non essere unica. Infatti, due Lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la derivata totale rispetto al tempo di una qualche funzione  , tuttavia la corrispondente equazione del moto sarà la stessa.[1][2]

Talvolta, la Lagrangiana viene espressa come dipendente anche dalle derivate delle coordinate successive alla prima, ed è definita in generale come una funzione   sul fibrato tangente   ad una varietà differenziabile, ovvero la varietà delle configurazioni, in un suo punto.

Lagrangiana ed equazioni di Eulero-LagrangeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Eulero-Lagrange.

Per il principio di minima azione, le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero le traiettorie geodetiche del sistema, sono tali da rendere stazionario (a variazione nulla) l'integrale d'azione calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati.

Per il teorema di Noether, inoltre, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo, allora la corrispondente Lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la Lagrangiana non dipende esplicitamente da una certa coordinata  , detta in tal caso coordinata ciclica, attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange si ha:

 

e quindi:

 

pertanto, il momento coniugato è una costante del moto o quantità conservata.

In particolare, se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo l'Hamiltoniana   è una costante del moto. Nello specifico tale quantità conservata ha la forma:

 

ovvero l'Hamiltoniana è la trasformata di Legendre della Lagrangiana. Se la Lagrangiana è data dalla differenza di energia cinetica e potenziale,   risulta pari alla loro somma, ovvero all'energia totale del sistema. Se inoltre la relazione   è invertibile, le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle equazioni di Hamilton del sistema.

Densità lagrangianaModifica

In diversi ambiti della fisica, tra i quali l'elettrodinamica e la teoria quantistica dei campi, si definisce la densità lagrangiana   in modo tale che:

 

dove  ,   e  .

Ad esempio, in relatività speciale la densità lagrangiana è utilizzata per il fatto di essere uno scalare di Lorentz locale, e l'azione viene definita attraverso l'integrale:

 

EsempioModifica

Si supponga di avere in uno spazio tridimensionale la Lagrangiana:

 

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la funzione che viene derivata. Si può mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano. Scrivendo la forza conservativa in termini di energia potenziale:

 

l'equazione risultante è infatti:

 

Supponendo quindi di voler rappresentare il moto di un punto materiale nello spazio tridimensionale usando coordinate sferiche  , la forma della Lagrangiana è:

 

Il vantaggio più immediato della formulazione lagrangiana rispetto a quella newtoniana consiste nel fatto che nel caso di sistemi vincolati è possibile ottenere le equazioni del moto senza dover tener conto delle reazioni vincolari, che sono per lo più indeterminate. A questo fine è sufficiente sostituire nella Lagrangiana per il sistema non vincolato una opportuna parametrizzazione del vincolo. Ad esempio, per passare dalla descrizione di un punto materiale non soggetto a vincoli a quella di un punto materiale vincolato a restare a distanza fissa   da un centro assegnato, ovvero un pendolo sferico, è sufficiente porre   nella Lagrangiana in coordinate sferiche e ricavarne le equazioni di Eulero-Lagrange per le sole funzioni incognite   e  . In questo modo si ottengono immediatamente le equazioni del moto, senza dover calcolare prima la proiezione delle forze attive sul piano tangente alla sfera di raggio  , come sarebbe necessario fare per poter scrivere le equazioni di Newton.

NoteModifica

  1. ^ Herbert Goldstein, Charles P. Poole e John L. Safko, Classical Mechanics, 3rd, Addison-Wesley, 2002, p. 21, ISBN 978-0-201-65702-9.
  2. ^ L.D. Landau and E.M. Lifshitz ; translated from the Russian by J.B. Sykes and J.S. Bell, Mechanics, 3rd ed., Oxford, Butterworth-Heinemann, 1999, p. 4, ISBN 978-0-7506-2896-9.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica