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Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.

Indice

DefinizioneModifica

Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto   dotato di un'operazione binaria

 

tale che:

  1. esiste un elemento  , detto neutro, tale che   per ogni  ;
  2. l'equazione   ha un'unica soluzione  .

Costruzione di left-loopModifica

Sezione di un gruppoModifica

DefinizioneModifica

Siano   un gruppo ed   un suo sottogruppo. Una sezione di   relativamente ad   è un'applicazione

 

dove   è la famiglia delle classi laterali sinistre di   modulo  , tale che:

  1.   è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
  2.  .

Inoltre l'immagine   della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di  . Va osservato che la 1. è quivalente alla condizione

 

dove   è la proiezione canonica del gruppo   sul quoziente  .

Teorema 1Modifica

Siano   un gruppo,   un sottogruppo di   e   una sezione di  , allora   è un left loop rispetto l'operazione

 

Dimostrazione

L'identità   sta in   poiché esso è un trasversale di  , dunque basta far vedere che l'equazione sinistra

 

ha un'unica soluzione in  

L'elemento   è una soluzione di (1), poiché

 

Supponiamo che

 

per qualche  , allora

 
 

Teorema 2Modifica

Siano   un gruppo,   un sottogruppo ed   una sezione con  . Il left-loop definito su   rispetto l'operazione

 

è un loop se e solo se   è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo  ,  .

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