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In matematica, il lemma di Schur è un risultato elementare ma estremamente utile nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre. Nel caso dei gruppi esso dice che se e sono due rappresentazioni irriducibili di un gruppo e è un morfismo lineare da a che commuta con l'azione del gruppo, allora è invertibile oppure Un importante caso particolare è quello in cui e quindi è un endomorfismo. Issai Schur usò questo risultato per dimostrare le relazioni di ortogonalità di Schur e sviluppò le basi della teoria della rappresentazione dei gruppi. Il lemma di Schur si generalizza ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie, e la più comune generalizzazione in questo senso è dovuta a Jaques Dixmier.

Formulazione nel linguaggio dei moduliModifica

Se   e   sono due moduli semplici su un anello   allora ogni omomorfismo   di  -moduli non identicamente nullo è invertibile. In particolare l'anello degli endomorfismi di un modulo semplice è un corpo.

La condizione che   è un omomorfismo di moduli significa che

  per ogni   e  

Il lemma di Schur è applicato frequentemente nel caso particolare seguente. Sia   un'algebra sul campo   dei numeri complessi e sia   un  -modulo semplice di dimensione finita su  . Il lemma di Schur dice che l'anello degli endomorfismi del modulo   è un corpo; esso contiene   nel suo centro, è finito-dimensionale su   e quindi coincide con  . Segue che l'anello degli endomorfismi di   è "il più piccolo possibile". Più in generale, questo risultato vale per algebre su ogni campo algebricamente chiuso e per moduli semplici la cui dimensione è al più numerabile. Quando il campo non è algebricamente chiuso, il caso in cui l'anello degli endomorfismi è il più piccolo possibile è particolarmente interessante: un modulo semplice su una  -algebra si dice assolutamente semplice se il suo anello degli endomorfismi è isomorfo a  . Questo è in generale più forte che essere irriducibili sul campo  , ed implica che il modulo è irriducibile anche sulla chiusura algebrica di  .

Formulazione nel linguaggio delle matriciModifica

Sia   un gruppo di matrici invertibili complesse. Questo vuol dire che   è un insieme di matrici quadrate di ordine   con elementi complessi, e   è chiuso sotto l'operazione di moltiplicazione di matrici e inversione. Si supponga inoltre che   sia irriducibile: non esistono sottospazi   oltre a   e lo spazio intero che siano invarianti sotto l'azione di  . In altre parole,

 

Il lemma di Schur, nel caso speciale di una rappresentazione singola, diventa: se   è una matrice complessa di ordine   che commuta con tutte le matrici in  , allora   è una matrice scalare. Un semplice corollario è che ogni rappresentazione complessa irriducibile di un gruppo abeliano è di dimensione  .

Formulazione nel linguaggio delle rappresentazioni dei gruppiModifica

La versione nel linguaggio dei gruppi è un caso particolare della versione nel linguaggio dei moduli: una rappresentazione di un gruppo   è un modulo sull'algebra gruppale di  .

Siano   un gruppo,   e   due rappresentazioni irriducibili di   su un campo fissato   e sia   un'applicazione lineare  -invariante, cioè tale che   per ogni  ,  . Allora:

  1.   oppure   è un isomorfismo;
  2. se   e   e se   è algebricamente chiuso allora   è la moltiplicazione per uno scalare.

DimostrazioneModifica

  1. Essendo    -invariante,   e   sono sottospazi G-invarianti. Si ha che, poiché   è irriducibile, o   o  . Se   allora  . Se   allora   è iniettiva. Poiché   è irriducibile segue   e dunque   è suriettiva. Perciò   è un isomorfismo.
  2.     è un operatore lineare; sia   un suo autovalore (esiste perché   è algebricamente chiuso): allora  , in quanto contiene almeno un autovettore. L'operatore lineare   è anch'esso  -invariante. Poiché   e   è irriducibile si ha che   e quindi  . Perciò   e quindi  . Ovvero   è la moltiplicazione per uno scalare.

BibliografiaModifica

  • David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.
  • Tsit-Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0.

Voci correlateModifica