Lemma di Steinitz

Il lemma di Steinitz (o teorema dello scambio) descrive una delle proprietà fondamentali degli spazi vettoriali di dimensione finita, ovvero che preso un numero di vettori superiore al numero di elementi di una base dello spazio, questi devono essere linearmente dipendenti fra di loro. Il lemma prende il nome dal matematico tedesco Ernst Steinitz.

EnunciatoModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo   di dimensione finita con base   e   un sistema libero di  . Allora  .

Cioè: in uno spazio vettoriale di dimensione finita, il numero di vettori linearmente indipendenti che compaiono in un sistema libero non può mai superare la dimensione, cioè il numero di elementi di una base (quindi di ogni base di  ).

DimostrazioneModifica

Supponiamo per assurdo che sia  . Ogni vettore di   è generato dai vettori di  ; ad esempio:

 

e almeno uno degli   non è nullo; possiamo supporre  .   è quindi esprimibile come:

 

Per ogni vettore   possiamo allora scrivere:

 

Segue che   un sistema di generatori. Possiamo quindi esprimere   in funzione di questo:

 

e almeno uno tra   deve essere diverso da zero, altrimenti   e   sarebbero linearmente dipendenti. Quindi è possibile applicare i medesimi passaggi e ottenere un nuovo gruppo di generatori  .

Iterando il procedimento   volte si ottiene come insieme di generatori un insieme di vettori  . È quindi possibile scrivere:

 

il che è contro l'ipotesi che i vettori di   fossero linearmente indipendenti.

ApplicazioniModifica

Il lemma di Steinitz è alla base di numerosi teoremi riguardanti gli spazi vettoriali; di seguito si riportano alcune delle sue conseguenze più importanti (  è uno spazio vettoriale a dimensione finita):

  • dato un sottoinsieme   di vettori linearmente indipendenti, esiste una base di   che contiene   (estensione della base)
  • tutte le basi di   hanno la stessa cardinalità, che è per definizione la dimensione di  ;
  • ogni insieme di vettori linearmente indipendenti con cardinalità uguale alla dimensione di  , è una base di  ;
  • ogni insieme di vettori che genera   e ha cardinalità uguale alla dimensione di  , è una base di  ;
  • se   è un sottospazio di  , allora  . e l'uguaglianza vale se e solo se  .
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Matematica