Liber abbaci

Liber abbaci
Altri titoliLiber abaci
AutoreLeonardo Fibonacci
1ª ed. originale1202
Generesaggio
Sottogenerematematica
Lingua originalelatino
Un foglio del manoscritto su pergamena del Liber abbaci conservato nella Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze (Codice Magliabechiano Conv. Soppr. C 1, 2616, fol. 124r). Il testo è quello celebre sulla fertilità di una coppia di conigli, con cui viene introdotta la sequenza di numeri oggi nota con il nome di successione di Fibonacci; come si può vedere, infatti, il riquadro sulla destra presenta le prime 13 cifre (in numeri arabi) della serie: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 e 377.
Xilografia (1508) tratta dalla Margarita philosophica di Gregor Reisch in cui, sotto l'egida di "Madame Arithmatica", sono raffigurati il sistema di calcolo con i numeri arabi e quello con l'abaco.
(LA)

«Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur.»

(IT)

«Le nove cifre degli indiani sono queste: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con tali nove figure, e con il simbolo 0, che in arabo chiamano zephiro, qualsiasi numero può essere scritto, come sarà dimostrato più avanti.»

(Leonardo Fibonacci, Liber abbaci, inizio del primo capitolo.)

Il Liber abbaci, noto anche come Liber abaci, è un trattato di argomento matematico. Scritto in latino medievale nel 1202 dal matematico pisano Leonardo Fibonacci, che nel 1228 ne pubblicò una seconda stesura, ha svolto un ruolo fondamentale nella storia della matematica occidentale ed è ritenuto uno dei libri più importanti e fecondi del Medioevo.[1]

Il Liber abaci è un ponderoso trattato di aritmetica e algebra con il quale, all'inizio del XIII secolo, Fibonacci ha introdotto in Europa il sistema numerico decimale indo-arabico e i principali metodi di calcolo ad esso relativi. Il libro non tratta l'utilizzo dell'abaco e il suo titolo può essere tradotto in Libro del calcolo: per questo motivo, alcuni credono che il titolo sia sbagliato, dato che abaco per i greci, i romani e i maestri d'abaco dei secoli precedenti era uno strumento di calcolo. Fibonacci invece riserva questa denominazione all'aritmetica-algebra applicativa in genere[2].

Su questo trattato, per oltre tre secoli, si formeranno maestri e allievi della scuola toscana[3]. L'equilibrio fra teoria e pratica era di fatto raggiunto. Fibonacci dice: "Ho dimostrato con prove certe quasi tutto quello che ho trattato"[4].

Quando Fibonacci scrisse il libro, in Europa i trattati di matematica avanzata erano quasi del tutto inesistenti, a parte le traduzioni delle opere classiche (gli Elementi di Euclide, per esempio[5]), che però erano ancora molto poco diffuse, e i cosiddetti Algorismi, scritti di aritmetica latina che prendevano il nome dal matematico al-Khwarizmi[6]. Fibonacci compì un'operazione unica, diversa da quelle degli Arabi, se non per l'originalità certo per la mole.

La prima edizione a stampa del Liber abaci è stata curata da Baldassarre Boncompagni Ludovisi nel 1857, basandosi su un manoscritto di XIV secolo recante al suo interno una versione databile al 1228.[7]

StrutturaModifica

Il trattato non ha precedenti in Europa ed è al livello di quelli esistenti nel mondo islamico e classico; è d'altronde evidente che Fibonacci trae molto dalle opere di matematici arabi quali al-Khwarizmi e Abu Kamil. È il trattato più noto e importante di Fibonacci, enorme (459 pagine nell'edizione in-quarto del Boncompagni), diviso in 15 capitoli:

  1. La conoscenza delle nove figure indiane, e come con esse si scrivano tutti numeri; quali numeri si possano tenere in mano e come, e l'introduzione all'abaco.
  2. La moltiplicazione degli interi.
  3. L'addizione degli stessi.
  4. La sottrazione dei numeri minori dai maggiori.
  5. La divisione dei numeri interi per numeri interi.
  6. La moltiplicazione degli interi con le frazioni, e delle frazioni senza interi.
  7. La somma, la sottrazione e la divisione degli interi con le frazioni e la riduzione delle parti di numeri in parti singole.
  8. L'acquisto e la vendita delle merci e simili.
  9. I baratti delle merci, l'acquisto di monete e simili.
  10. Le società fatte tra consoci.
  11. La fusione delle monete e regole correlative[8].
  12. La soluzione di questioni diverse, dette miscellanee.
  13. La regola della doppia falsa posizione, e come con essa si risolvano pressoché tutte le questioni miscellanee.
  14. Il calcolo delle radici quadrate e cubiche per moltiplicazione e divisione o da estrazione e il trattato dei binomi recisi e delle loro radici.
  15. Le regole delle proporzioni geometriche; e le questioni di algebra e almucabala.

L'opera può essere suddivisa in quattro parti:

la prima, che comprende i primi sette capitoli, è un'introduzione all'algebra e ai nuovi numeri, non fa riferimenti alla vita reale ma presenta esempi sempre più complessi così da abituare il lettore ai nuovi numeri[9]. Seguono poi quattro capitoli che presentano molti problemi nella mercatura; qui il lettore mette alla prova le nuove conoscenze e capisce la superiorità dell'algoritmo indiano rispetto a quello romano. Il dodicesimo capitolo[10] è il più ampio, comprende problemi di matematica "divertente", uomini che trovano borse, conigli che si moltiplicano, divisione di cavalli ecc. La terza parte (che coincide con il tredicesimo capitolo) tratta il metodo della doppia falsa posizione, uno dei metodi più potenti della matematica araba e medievale. L'ultima parte tratta questioni astratte, estrazione di radici, binomi recisi e proporzioni con la geometria. Vengono presentate le novem figure degli indiani e il signum 0, operazioni su interi e le frazioni, criteri di divisibilità, ricerca del massimo comune divisore e il minimo comune multiplo, regole di acquisto e di vendita, cambi monetari, regole del tre semplice e del tre composto ecc. La parte algebrica è dedicata allo studio delle equazioni algebriche quadratiche secondo i metodi di al-Khwarizmi, Abu Kamil, al-Karaji[11]. Fibonacci definisce tre termini primitivi dell'algebra - il termine noto (numerus), la radice quadrata (radix , il quadrato (census) - che gli serviranno per studiare le equazioni di primo e di secondo grado[12], tratte dall'algebra di al-Khwarizmi, che introduce tramite le seguenti sei equazioni:

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Studierà anche binomi e trinomi associati alle equazioni, l'algoritmo risolutivo e la sua relativa giustificazione geometrica e una novantina di problemi risolvibili con le conoscenze apprese nel libro. I nuovi algoritmi presentati da Fibonacci erano, per l'epoca, procedure di calcolo scritte in linguaggio colloquiale che intendevano facilitare la risoluzione dei problemi di calcolo evitando l'uso dell'abaco, fino ad allora insostituibile dato che si operava con il sistema numerico romano. La maggior parte dei metodi aveva inoltre fondamento teorico nel metodo principale delle proporzioni e negli altri algoritmi presentati negli Elementi di Euclide.

Fra i problemi trattati, 22 sono desunti da al-Khwarizmi e 53 da Abu Kamil. I quindici capitoli del libro contengono problemi di natura disparata. Il dodicesimo ("De Regulis Erractis") è quello più ricco e vario: tratta i numeri perfetti e il problema della coppia di conigli, quello per cui è diventato famoso: "Determinare quanti conigli si avranno alla fine dell'anno partendo da una coppia che sarà fertile a partire dal secondo mese"[13].

Le fonti del Liber abbaciModifica

La maggior parte degli studiosi concorda nel ritenere che il Fibonacci abbia avuto a disposizione una gran quantità di fonti latine, greche ed arabe, e che le abbia utilizzate per scrivere il suo Liber abbaci. Alcune fonti possono essere identificate con una certa sicurezza: ad esempio, è comunemente accettata l'ipotesi che il Pisano abbia mutuato il sistema di notazione delle frazioni continue ascendente dalla scuola matematica del Maghreb.[14]

Naturalmente non è possibile stilare una lista completa di tutti i trattati in lingua latina, greca ed araba che il Pisano potrebbe aver conosciuto: egli, infatti, quasi mai cita gli scritti di altri autori all'interno del suo Liber abbaci. Tuttavia, anche se il dibattito sulle fonti da lui utilizzate è ancora in corso, su alcuni punti gli studiosi tendono ad essere d'accordo.

Quasi sicuramente il nostro matematico ha avuto a disposizione una copia del Kitab al-fusul fi al-hisab al-hindi (Libro di capitoli sull'aritmetica indiana) del matematico al-Uqlidisi, di X secolo.[15] Inoltre è innegabile che egli abbia conosciuto l'opera aritmetica del matematico persiano al-Khwarizmi, vissuto nel IX secolo, che potrebbe aver letto nell'originale arabo. [16]

Per quanto riguarda la parte algebrica del Liber abbaci, si ritiene che Leonardo abbia avuto un'ottima conoscenza non solo del Kitab al-jabr di al-Khwarizmi, ma anche del Kitab fil-jabr wa'l muqabala del matematico egiziano Abu Kamil, entrambi di argomento algebrico.[17] Infine, tutti gli studiosi concordano nel riconoscere che Fibonacci dovette avere una grande familiarità anche con gli Elementi di Euclide, con il Liber embadorum di Platone da Tivoli, con il Libro sul rapporto e sulla proporzione di Ahmad ibn Yusuf al-Daya, con l'opera di argomento geometrico di Banu Musa e con il Liber mahamelet[18].

Per quel che concerne l'opera algebrica di Omar al-Khayyam, la maggior parte degli studiosi è del parere che il Fibonacci non l'abbia conosciuta (o che, comunque, non l'abbia utilizzata). Vissuto a cavallo tra l'XI e il XII secolo, al-Khayyam si occupò di aritmetica, algebra e musica, oltre che di poesia e di filosofia. La sua opera matematica più conosciuta, dal titolo Algebra wa al-muqabala (Dimostrazioni di problemi di algebra), offre un'analisi avanzata delle equazioni polinomiali, che il Pisano non sembra prendere in considerazione nella stesura del suo Liber abbaci.

La tradizione manoscritta del Liber abbaciModifica

La tradizione manoscritta del Liber abbaci è molto ampia e complessa. Attualmente si conoscono diciannove testimoni manoscritti dell'opera, ma bisogna tener presente che questo numero è in costante aggiornamento.[19] Alcuni di questi manoscritti tramandano l'opera in forma completa, mentre altri presentano al loro interno soltanto alcuni dei capitoli di maggior interesse. Si tratta, in particolare, dei capitoli conclusivi dell'opera, quelli che affrontano le cosiddette questioni erratiche, i numerosi problemi rappresentabili attraverso sistemi indeterminati, nonché alcune questioni teoriche di natura algebrica.

La fortuna del Liber abbaciModifica

Verso la fine del XIII secolo videro la luce molte opere di argomento aritmetico in lingua volgare, soprattutto in Toscana, dove fiorivano le botteghe dell'abaco. Queste opere, al pari del Liber abbaci, spiegavano i numeri da 1 a 9 e l'utilizzo dello zero, le quattro operazioni fondamentali e una serie di questioni relative al commercio. Si tratta di opere più snelle rispetto al monumentale Liber abbaci: esse sono raggruppabili sotto il titolo comune di Libri dell'abbaco e si caratterizzano per la scelta di utilizzare il volgare invece del latino.

Per quanto la proliferazione dei libri d'abbaco sia stata davvero molto ampia, come osserva Keith Devlin nessuno si è accorto della loro esistenza prima che lo storico Gino Arrighi iniziasse a pubblicare le trascrizioni dei loro contenuti. Nel 1980 lo storico Warren Van Egmond pubblicò un catalogo di tutti i manoscritti italiani composti fino al 1600, e questo gli ha consentito di rilevare come la trattatistica dell'abaco si trasformò rapidamente in un genere ben distinto, man mano che il numero degli scritti aumentava. Oggi la trattatistica dell'abaco è uno dei campi di studio privilegiati degli storici della matematica e degli italianisti.

L'esempio più famoso della tradizione abbachistica vernacolare è la Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalita di Luca Pacioli (1494). L'opera presenta molti punti in comune con il Liber abbaci di Leonardo Fibonacci, da cui si differenzia per la scelta del volgare e per l'essere indirizzato a un pubblico per lo più di mercanti.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Giuseppe Germano, "New Editorial Perspectives on Fibonacci's Liber Abaci", in «Reti Medievali Rivista» 14/2, 2013, p. 157.
  2. ^ N. Ambrosetti, L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale, Milano, LED, 2008, p. 220: «L’opera è interessante fin dal titolo: come si vede, la parola abaco ha perso gradualmente, ma inesorabilmente il suo significato di strumento di calcolo per assumere quello di "aritmetica basata sull’uso delle figure indiane"»
  3. ^ E. Ulivi, Su Leonardo Fibonacci e sui maestri d’abaco pisani dei secoli XIII-XV, in «Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche» 31/2, 2011, pp. 247-288.
  4. ^ N. Ambrosetti, L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale, Milano, LED, 2008, pp. 216-217
  5. ^ M. Folkerts, The development of mathematics in Medieval Europe: the Arabs, Euclid, Regiomontanus, Aldershot, Ashgate Variorum, 2006.
  6. ^ Si tratta del Dixit Algorizmi, del Liber ysagogarum Alchorismi, del Liber Alchorismi de pratica arismetice e del Liber pulveris. Cfr. A. Allard, Le calcul indien (Algorismus). Histoire des textes, édition critique, traduction et commentaire des plus anciennes versions latines remaniées du XII siecle, Paris, Peeters, 1992.
  7. ^ Si tratta del Codice Magliabechiano C. 1, 2616, realizzato nel XIV secolo ma filologicamente risalente alla versione del 1228.
  8. ^ A. Saccocci, Le monete nel Liber Abaci di Fibonacci, in «Rivista Italiana di Numismatica e Scienze affini» 109, 2008, pp. 269-286; E. Caianiello, Des monnaies et des oiseaux dans l’oeuvre de Léonard de Pise, in «Revue Numismatique» 167, 2011, pp. 151-166.
  9. ^ L. Ancora, Il Liber abaci di Leonardo Fibonacci tradotto in italiano. Parte prima, Ebook - Academia.edu
  10. ^ E. Giusti, The twelfth chapter of Fibonacci's «Liber Abaci» in its 1202 version, in «Bollettino delle Storie delle Scienze Matematiche» 27/1, 2017, pp. 9-216.
  11. ^ R. Franci, Il Liber abaci di Leonardo Fibonacci 1202-2002, in «Bollettino dell’Unione Matematica Italiana» 8/2, 2002, pp. 293-328.
  12. ^ B. Hughes, Fibonacci teacher of algebra: an analysis of chapter 15.3 of Liber abaci, in «Mediaeval Studies» 66, 2004, pp. 313-361.
  13. ^ M. Livio, La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni, Milano, BUR, 2003.
  14. ^ K. Devlin, I numeri magici di Fibonacci, Milano, BUR, 2016, p. 65; M. Moyon & M. Spiesser, L’arithmétique des fractions dans l’œuvre de Fibonacci: fondements & usages, in «Arch. Hist. Exact Sci.» (2015), pp. 391–427
  15. ^ K. Devlin, I numeri magici di Fibonacci, Milano, BUR, 2016, p. 66
  16. ^ Purtroppo non ci sono pervenuti manoscritti arabi di questa opera, ma si conoscono soltanto alcuni rifacimenti, traduzioni e rielaborazioni in latino di XII secolo, che vanno sotto il nome di Algorismi.
  17. ^ Al-jabr wa al-muqabala è un'espressione araba traducibile con «l'algebra e l'almucabala»: si tratta delle due fasi principali della risoluzione di un'equazione, consistenti nello spostarne i membri da una parte all'altra del segno di uguaglianza. Cfr. K. Devlin, I numeri magici di Fibonacci, cit., p. 73: «Le due parole al-jabr e al-muqabala, che compaiono nel titolo del libro di al-Khwarizmi, si riferiscono a due passi del processo di semplificazione delle equazioni. Al-jabr significa “restaurazione” o “completamento”, e consiste nel rimuovere i termini negativi trasportandoli dall'altra parte dell'equazione, così da renderli positivi. […] Al-muqabala significa invece “compensazione”, e consiste nel processo con cui eliminiamo le quantità identiche presenti ai due lati dell'equazione» (trad. it. a cura di D. Didero)
  18. ^ J. Sesiano, The Liber mahameleth: a XII century mathematical treatise, Cham, Springer, 2014
  19. ^ Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, Liber abaci. Il libro del calcolo. Epistola a Michele Scoto - Prologo - Indice - Capitoli I-IV. Edizione critica, con introduzione, traduzione e note a cura di G. Germano e N. Rozza, Napoli, Paolo Loffredo, 2019, pp. 71-93

BibliografiaModifica

  • Leonardi Bigolli Pisani Fibonacci Liber abbaci. Edidit E. Giusti adiuvante P. D'Alessandro, Firenze, L. S. Olschki, 2020 (Biblioteca di «Nuncius», vol. 79). ISBN 9788822266583
  • Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, Liber abaci. Il libro del calcolo. Epistola a Michele Scoto - Prologo - Indice - Capitoli I-IV. Edizione critica, con introduzione, traduzione e note a cura di G. Germano e N. Rozza, Napoli, Paolo Loffredo, 2019. ISBN 978-88-3219-306-0
  • F. Delle Donne, La porta del sapere. Cultura alla corte di Federico II di Svevia, Roma, Carocci, 2019. ISBN 978-88-4309-502-5
  • (EN) E. Giusti, The twelfth chapter of Fibonacci's Liber Abaci in its 1202 version, in «Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche» XXVII, 1, 2017, pp. 9-216.
  • C. Carotenuto, Prassi retorico-linguistica del Liber Abaci di Leonardo il Pisano, in Arte della parola e parole della scienza. Tecniche della comunicazione letteraria nel mondo antico, a cura di R. Grisolia, G. Matino, Napoli, D'Auria, 2014, pp. 25-44.
  • (EN) G. Germano, New editorial perspectives on Fibonacci's Liber abaci, in «Reti Medievali Rivista» 14/2, 2013, pp. 157-173.
  • (EN) C. Carotenuto, Observations on selected variants of Fibonacci’s Liber Abaci, in «Reti Medievali Rivista» XIV, 2, 2013, pp. 175-188.
  • E. Burattini, E. Caianiello, C. Carotenuto, G. Germano, L. Sauro, Per un'edizione critica del Liber Abaci di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, in Forme e modi delle lingue e dei testi tecnici antichi, a cura di R. Grisolia, G. Matino, Napoli, D'Auria, 2012, pp. 65–72. ISBN 978-88-7092-331-5.
  • P. Bussotti, Leonardo Pisano, genannt Fibonacci, Liber abaci, in Die Staufer und Italien: drei Innovationsregionen im mittelalterlichen Europa, a cura di A. Wieczorek, B. Schneidmüller, S. Weinfurtera, Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 2010, pp. 290-291.
  • N. Geronimi, Giochi matematici del Medioevo. I «conigli di Fibonacci» e altri rompicapi liberamente tratti dal Liber abaci, Milano, Mondadori, 2006.
  • R. Franci, Leonardo Pisano e la trattatistica dell’abaco in Italia nei secoli XIV e XV, in «Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche» 23/2, 2005, pp. 33-54.
  • J. Høyrup, Leonardo Fibonacci and Abbaco Culture. A Proposal to Invert the Roles, in «Revue d'histoire des mathématiques» 11/1, 2005, pp. 23-56.
  • B. Hughes, Fibonacci teacher of algebra: an analysis of chapter 15.3 of Liber abaci, in «Mediaeval Studies» 66, 2004, pp. 313-361.
  • (EN) L. E. Sigler, Fibonacci's Liber Abaci. A translation into modern english of Leonardo Pisano's book of calculation, New York, Springer, 2003. ISBN 0-387-40737-5.
  • R. Franci, Il Liber abaci di Leonardo Fibonacci 1202-2002, in «Bollettino dell’UMI: Unione Matematica Italiana» 8/2, 2002, pp. 293-328.
  • E. Giusti, Matematica e commercio nel Liber abaci, in Un ponte sul Mediterraneo: Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente, a cura di E. Giusti, con la collaborazione di R. Petti, Firenze, Polistampa, 2002, pp. 59-120.
  • (LA) B. Boncompagni Ludovisi, Il Liber abbaci di Leonardo Pisano pubblicato secondo la lezione del Codice Magliabechiano C. 1, 2616, Badia Fiorentina, n. 73 da Baldassarre Boncompagni, socio ordinario dell'Accademia pontificia de' nuovi Lincei, Roma, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, 1857.

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