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Limite di una funzione

concetto dell'analisi matematica

In matematica, il limite di una funzione in un punto di accumulazione[1] per il suo dominio è un modo per esprimere la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento a . Indicando con la funzione, il limite viene indicato con la notazione:

In altri termini, significa che quando il valore di si avvicina a , esprimibile con , il valore assunto dalla funzione si avvicina a , cioè . Il valore può essere finito (), infinito () o non esistere affatto. Il limite rappresenta in un certo senso il comportamento di un oggetto matematico quando una o più variabili del suo dominio tendono ad assumere un determinato valore.

Il concetto di limite di una funzione viene generalizzato da quello di limite di un filtro, mentre un caso particolare è quello di limite di una successione di punti in uno spazio topologico.

DefinizioneModifica

Siano dati una funzione   definita su un sottoinsieme   della retta reale  , e un punto di accumulazione   di  . Un numero reale   è il limite di   per   tendente a   se, fissato arbitrariamente un valore   della distanza fra   e  , si riesce a trovare, in corrispondenza di questo, un valore   della distanza tra   ed   per il quale per tutti gli  , escluso  , che distano da   meno di  , si ha che   disti da   meno di  .

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi   è la distanza fra   e   e   è la distanza fra   e  . I concetti di "fissato arbitrariamente" e "si riesce a trovare" sono espressi formalmente, rispettivamente, con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente,   è il limite di   per   che tende a   se per ogni numero reale   esiste un altro numero reale positivo   tale che se   allora  , o con formalismo puramente matematico

 

che è riassunto dalla scrittura:

 

Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente:   è limite se per ogni intorno   di   in   esiste un intorno   di   in   tale che   appartiene a   per ogni   in  . Il punto   non è necessariamente contenuto nel dominio di  . Il punto è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di   in punti arbitrariamente vicini a   ma non dal valore che   assume in  : per questo motivo si chiede che   sia maggiore di zero.

La definizione di cui sopra è quella maggiormente utilizzata al giorno d'oggi. Tuttavia, nella seconda metà del XX secolo una revisione dei concetti basilari di topologia ha indotto alcuni illustri studiosi a proporre una definizione modificata di limite.[2][3] Se infatti   è più in generale punto di aderenza per l'insieme  , allora si dice che   è limite se per ogni numero reale   esiste   tale che   ogni volta che  . La condizione   viene quindi a mancare. La definizione riformata non modifica i limiti tradizionali come ad esempio la definizione di derivata, ma tratta in modo diverso alcuni casi "patologici". Si osservi che la condizione di aderenza di   a   è condizione necessaria e sufficiente affinché il limite, inteso con la definizione riformata, sia unico. Inoltre, utilizzando questa definizione la continuità diventa un caso particolare di limite a tutti gli effetti: infatti si vede facilmente che   continua in  , punto del suo dominio, equivale a dire che   ammette limite   in  . Vari altri classici risultati assumono una forma più semplificata assumendo la definizione riformata di limite: ad esempio il teorema del passaggio al limite in una funzione composta vale sotto le ipotesi più naturali possibili.

Estensione al caso infinitoModifica

La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui   e/o   sono infiniti.

La funzione   ha limite   in un punto finito   se per ogni numero reale   esiste un altro numero reale   tale che   per ogni   in   con  , ovvero

 

che in maniera più sintetica si scrive:

 

Analogamente si definisce il limite   sostituendo   con  .

 
Il limite per   è  .

Per definire il limite per  , è ancora necessario che   sia un "punto di accumulazione" per il dominio  : questo si traduce nella richiesta che   contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:

 

In questo caso, un numero finito   è limite di   per   se per ogni numero reale   esiste un altro numero reale   tale che   per ogni   in   con  , ovvero

 

che in maniera più sintetica si scrive:

 

Analogamente si definisce il limite per  , sostituendo   con  .

Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi   e   sono infiniti. La funzione   ha limite   per   se per ogni numero reale   esiste un altro numero reale   tale che   per ogni   in   con  , ovvero

 

che in maniera più sintetica si scrive:

 

In maniera analoga si definiscono i casi in cui   e/o  .

Retta estesa e definizione generaleModifica

Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale   alla retta reale estesa:

 

ottenuta aggiungendo due punti   e  . La retta reale estesa è un insieme ordinato e uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di   sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta  , per qualche  .

In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo   con   nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi   una funzione definita su un insieme   di  , e sia   un punto di accumulazione per  . Un valore   in   è limite di   in   se per ogni intorno   di   in   esiste un intorno   di   in   tale che   appartiene a   per ogni   in  .

Per il teorema di unicità del limite, una funzione può avere un limite (finito o infinito) in   oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).

TerminologiaModifica

Se il limite per   di   è 0,   si dice infinitesima o convergente in  . D'altro canto, se   tende a   è detta divergente. Se   è contenuto nel dominio   di  , e se vale:

 

allora la funzione è continua in  . La nozione di continuità è molto importante in matematica: intuitivamente, una funzione continua in   ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, quindi può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio: in ogni punto   del suo dominio, la   assume in   il valore del suo limite per  . Altrimenti, la funzione ha in   un punto di discontinuità.

EsempiModifica

Sono qui elencati alcuni esempi.

  • La funzione   è continua in  , perché il suo valore   coincide con il valore ottenuto come limite:
 
  • Quanto   diventa molto grande, il valore   diventa arbitrariamente piccolo, e tende quindi a zero:
 
  • Quando   diventa molto grande, il valore   diventa arbitrariamente grande, e tende quindi a  :
 
  • La funzione seno oscilla indefinitivamente fra   e  , e quindi non tende a nessun limite preciso per  . Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori   è costantemente 1 e la restrizione a   è costantemente -1, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi:
 
o più rigorosamente:
 

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difettoModifica

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.

Un intorno destro di un punto   della retta estesa   è un intervallo del tipo   con  . Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo  . In particolare, gli intorni di   sono tutti destri e quelli di   sono sinistri.

A questo punto, sia   con   punto di accumulazione per  . Un valore   della retta estesa è limite destro per   in   se per ogni intorno   di   esiste un intorno destro   di   tale che   appartiene a   per ogni   in  .

Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come:

 

Vale il risultato seguente: una funzione ha limite in   se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti sono finiti e coincidono.

 
La funzione gradino di Heaviside ha un salto in  , poiché i limiti sinistro e destro non coincidono.

Ad esempio, la funzione gradino   mostrata in figura ha limite sinistro e destro in  , ma questi non coincidono: quindi non ha limite in  :

 

Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno   di   con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:

 

Proprietà di baseModifica

Limitatezza localeModifica

Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in   è limitata in un intorno di  , ovvero esistono un numero   e un intorno   di   tale che   per ogni   del dominio contenuto in  .

D'altra parte, una successione limitata in un intorno di   non ha necessariamente limite in  : ad esempio la funzione gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.

Permanenza del segnoModifica

Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite   strettamente positivo in  , allora assume valori strettamente positivi per ogni   sufficientemente vicino a  . In altre parole, esiste un intorno   di   tale che   per ogni   del dominio in   diversa da  .

Analogamente, una funzione che ha limite   strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli   sufficientemente vicini a  . Una funzione che ha limite   può assumere vicino a   valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione   con  ).

Confronto fra funzioniModifica

Siano   e   due funzioni definite su un dominio  , con   punto di accumulazione per  . Se   per ogni   del dominio in un intorno   di  , e se entrambe le funzioni hanno limite in  , allora vale:

 

Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza  .

Teorema del confronto (o dei carabinieri)Modifica

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se   e   sono tre funzioni definite su un dominio   con punto di accumulazione  , tali che:

 

per ogni   del dominio in un intorno di  , e tali che:

 

allora anche:

 

Viene detto "dei carabinieri" perché   e   vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella   cioè il criminale, oppure perché si immaginano due carabinieri che cercano di catturare un criminale da due lati opposti, esso tenderà, insieme ai carabinieri (le funzioni esterne), allo stesso punto.

Operazioni con i limitiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operazioni con i limiti.

Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.

Siano   e   due funzioni con lo stesso dominio  , e   un punto di accumulazione per  . Se esistono i limiti:

 

allora:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui   e/o   sia infinito.

Spazi metriciModifica

Il concetto di limite è generalizzato a ogni funzione   fra spazi metrici   e   nel modo seguente. Se   è un punto di  , un valore   di   è limite di   per   se   si avvicina arbitrariamente a   quando   si avvicina a  . Formalmente, se per ogni   esiste   tale che   per ogni   con  . In questo caso si scrive:

 

Continua a valere il teorema di unicità del limite: una funzione non può tendere a due limiti diversi in un punto.

Spazi topologiciModifica

Siano   e   due spazi topologici e siano   ,   un elemento della chiusura di   in   ,  .

Data   un'applicazione si dice che   è un limite di   per   in  , e si scrive   se:

 

è continua in   con   dotato della topologia indotta da   e   dotato della topologia  .

Inoltre se   punto di accumulazione di   in   e lo spazio   è di Hausdorff allora l'insieme   ha al più un elemento (unicità del limite).

Funzioni reali a più variabiliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di funzioni a più variabili.

Lo spazio euclideo   è uno spazio metrico, con la metrica euclidea. Quindi la definizione di limite per spazi metrici si applica a qualsiasi funzione:

 

dove   è un qualsiasi sottoinsieme di  .

Funzioni complesseModifica

Una funzione complessa   può essere interpretata come funzione:

 

In questo modo è quindi anche definito il limite per funzioni fra insiemi di numeri complessi.

NoteModifica

  1. ^ Spesso in topologia può essere richiesto che il punto sia solo di aderenza per il dominio della funzione. Questo non cambia nulla per i limiti di funzione rispetto ai punti di accumulazione perché sono un sottoinsieme dei punti di aderenza, né va a influenzare i teoremi sulle proprietà generali dei limiti.
  2. ^ Ennio De Giorgi, Lezioni di Istituzioni di Matematica 1, Ferrara, De Salvia, 1972.
  3. ^ Laurent Schwartz, Analyse. Deuxième partie: Topologie générale et analyse fonctionnelle, Paris, Hermann, 1970.

BibliografiaModifica

  • Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998.
  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996.
  • (EN) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964
  • (EN) R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948) (Translated from German)
  • (EN) K.R. Stromberg, Introduction to classical real analysis , Wadsworth (1981)
  • (EN) J.L. Kelley, General topology , v. Nostrand (1955) pp. 125; 127
  • (EN) B. Mitchell, Theory of categories , Acad. Press (1965) pp. 7
  • (EN) J. Adámek, Theory of mathematical structures , Reidel (1983)

Voci correlateModifica

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