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Linearità (matematica)

In matematica, la linearità è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di proporzionalità diretta.

Ad esempio, la legge correla linearmente e : se raddoppia, anche raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

Indice

Relazione lineare tra vettoriModifica

In algebra, n vettori   appartenenti a uno spazio vettoriale definito sul corpo   sono linearmente dipendenti se intercorre tra di essi una relazione del tipo:

 

dove   non sono tutti nulli.[1] Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per   i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore   può essere scritto nel modo seguente:

 

allora   è una combinazione lineare dei vettori  . In particolare, lo spazio   delle combinazioni lineari dei vettori   prende il nome di sottospazio generato da tali vettori, ed è un sottospazio vettoriale dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore   è combinazione lineare di   se e solo se i vettori   sono linearmente dipendenti.

Applicazioni lineariModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Un'applicazione   definita da un  -spazio vettoriale   a un  -spazio   è lineare se, per ogni coppia di elementi   e   appartenenti a   su cui agisce la funzione e per ogni coppia di scalari   e   per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

 

In generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa struttura è detto omomorfismo. A seconda della struttura definita su tali insiemi si parla quindi di omomorfismo di gruppi, di anelli, di spazi vettoriali e di algebre.

Una funzione in   variabili   (dove i   sono  -spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

 
 

è detta multilineare. Ad esempio, il prodotto scalare euclideo è una forma bilineare.

Equazioni lineariModifica

Equazioni algebricheModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione lineare.

Un'equazione algebrica in n incognite   si dice lineare se è della forma:

 

dove i coefficienti (costanti)   non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita   è lineare se esistono un vettore  , dove   è un campo, e un elemento   per cui si può scrivere:

 

Il simbolo   denota il prodotto scalare ordinario definito sullo spazio  .

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di  . Un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo razionale se sono razionali i coefficienti  , o nel campo reale se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a parametro tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve. Ad esempio, se   l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:

 

dove si sono definiti i parametri liberi  .

Sistemi di equazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di equazioni lineari.

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di m equazioni lineari, ciascuna nelle n incognite  , le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una matrice   di dimensione  , il cui elemento   rappresenta il coefficiente dell'i-esima equazione nella j-esima incognita. Se allora   è l'n-vettore che ha per componenti le incognite, e   è l'm-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere:

 

che equivale a:

 

Un sistema del genere può essere impossibile se non ammette soluzioni, determinato se ammette una e una sola soluzione e indeterminato se ammette più di una soluzione. Se il campo   in cui si stanno cercando le incognite ha cardinalità infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni: questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio affine di  . Più precisamente:

 

in particolare, lo spazio   delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

 

Esiste un teorema che mette in relazione il rango della matrice   con la risolubilità del sistema.

Equazioni differenzialiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale lineare.

Un'equazione differenziale ordinaria è lineare se è della forma:

 

con qualche  .

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di   compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:

 

è lineare, cioè se   è soluzione di   e   è soluzione di   allora   è soluzione di  . In altri termini, vale la relazione:

 

Luoghi geometriciModifica

La rappresentazione cartesiana di un'equazione lineare in n incognite è un iperpiano n-1-dimensionale immerso nell'n-spazio. Ad esempio, l'equazione:

 

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

 

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in forma implicita, laddove le corrispettive forme esplicite sarebbero:

 

rispetto alla coordinata y, e:

 

rispetto alla coordinata z.

NoteModifica

  1. ^ Il vettore nullo   è linearmente dipendente, poiché vale la relazione  .

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

Voci correlateModifica