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Grafico di y=ln(x)

Il logaritmo naturale è il logaritmo in base e, dove è uguale a Il logaritmo naturale è definito per tutte le reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.

DefinizioneModifica

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che   è il numero per cui  . Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le   reali positive.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:

Il logaritmo naturale di   è l'area sottesa dal grafico di   da   ad  . In altre parole, è il risultato dell'integrale

 .

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

 

Questo può essere dimostrato definendo   e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

 

Il numero   può essere definito come l'unico numero reale   tale che  .

ConvenzioniModifica

  • I matematici sono soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere loge(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log10(x) è il logaritmo in base   di  ).
  • Ingegneri, biologi e altre professioni generalmente scrivono "ln(x)" o (raramente) "loge(x)" per intendere il logaritmo naturale di  , mentre per "log(x)" sottintendono log10(x).
  • Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
  • Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base  .
  • Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per log N si sottintende il logaritmo in base 2 di N.

La funzione inversa dell'esponenziale in base eModifica

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:

  per tutte le   positive e
  per tutte le   reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale positiva diversa da  , non solo  , inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

DerivataModifica

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da:

 

Serie comuniModifica

La serie di Taylor centrata in   del logaritmo naturale è:

 

Utilizzando l'identità

 

e sostituendo   nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

 

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni   con valore assoluto maggiore di  :

 

Si noti inoltre che   è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero   è sufficiente sostituire   al posto di  .

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

 

Integrali e regole di integrazioneModifica

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:

 

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma   che si traducono nella scrittura  : l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

 

Cioè

 

e

 

EsempiModifica

Se   è la tangente di  , allora:

 
 

Da cui ponendo   si ha che   e quindi:

 
 

dove   è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.

Calcolo del logaritmo naturale e cambio di baseModifica

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base  . È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di  ):

 

che diventa:

 

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

 

e

 .

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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