Massa relativistica

La massa relativistica $m$ fu introdotta da Albert Einstein nelle prime formulazioni della teoria della relatività ristretta, comparendo nell'equazione E=mc² come prodotto fra la massa a riposo $m_{0}$ e il fattore di Lorentz $\gamma$ :

m=\gamma \,m_{0}

.

Nel linguaggio relativistico odierno è una definizione non più usata, in quanto potenziale espressione dell'errore concettuale secondo cui la massa possa variare con la velocità. Per questa ragione oggi si indica con m la massa invariante a ogni velocità v < c, che coincide numericamente con la massa a riposo $m_{0}$ .

Massa relativistica e massa a riposoModifica

L'articolo di Einstein del 1905 "L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?" ^[1] introduce la massa relativistica $m$ . Questa si relaziona alla massa a riposo $m_{0}$ (cioè la massa dell'oggetto nel sistema di riferimento in cui è in quiete) tramite il fattore di Lorentz $\gamma$ :

m=\gamma \,m_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;m_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-{\beta }^{2}}}}\;m_{0}

con $\beta =v/c$ detto parametro di velocità, che vale $0\leq \beta \leq 1$ .

Per ottenere dall'equazione dell'energia relativistica, applicabile a oggetti in quiete o in moto,

E=mc^{2}=\gamma \,m_{0}c^{2}

l'equazione che esprime solamente l'energia a riposo $E_{0}$ , si pone $v=0$ nella prima equazione, ottenendo $\gamma =1$ . A riposo, cioè a velocità nulla, la massa relativistica coincide con la massa a riposo e l'equazione $E=mc^{2}$ può essere riscritta per l'energia a riposo come $E_{0}=m_{0}c^{2}$ .

Massa relativistica	$m$
Massa a riposo	$m_{0}$
Energia totale	$E=mc^{2}=\gamma \,m_{0}c^{2}$
Energia a riposo	$E_{0}=m_{0}c^{2}$

Massa invarianteModifica

La massa relativistica non è più usata nel linguaggio relativistico odierno, in quanto potenziale espressione dell'errore concettuale per cui la massa, piuttosto che la sola inerzia,^[2] vari con la velocità. Per questa ragione oggi si indica con m la massa invariante a ogni velocità v < c (che coincide numericamente con la massa a riposo $m_{0}$ ) in un dato sistema di riferimento inerziale K ed in qualsiasi altro sistema di riferimento inerziale K' in moto a velocità costante v' rispetto a K. Conseguentemente si scrive $E=\gamma \,mc^{2}$ per un oggetto in moto o $E_{0}=mc^{2}$ se in quiete rispetto a un dato sistema di riferimento.^[3]^[4] L'uso della massa invariante m permette di definire in modo del tutto coerente sia l'impulso relativistico sia l'energia relativistica, descritti nelle Sezioni seguenti.

Notiamo che la massa invariante è direttamente collegata al modulo quadro del quadrimpulso totale del sistema tramite la relazione:

M_{inv}^{2}c^{2}={\frac {E_{tot}^{2}}{c^{2}}}-|{\vec {P}}_{tot}|^{2}

Tale grandezza è utile nello studio di sistemi in cui si conserva il quadrimpulso totale e di conseguenza la massa invariante, ad esempio nei decadimenti di particelle.

Massa invariante	$m$
Energia totale	$E=\gamma \,mc^{2}$
Energia a riposo	$E_{0}=mc^{2}$

Impulso relativisticoModifica

Il quadrimpulso è definito come:

\mathbf {p} =\gamma \,m\,\mathbf {v}

.

dove il grassetto indica i quadrivettori e $\gamma$ il fattore di Lorentz

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

Usando la metrica con segnatura (-,+,+,+) si ottiene:

p^{\mu }=\gamma \,m\,{\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}t}}

oppure, introducendo il tempo proprio $\tau$ , siccome ${\mbox{d}}t=\gamma \,{\mbox{d}}\tau$ si ha che

p^{\mu }=m\,{\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}\tau }}

.

Energia relativistica totaleModifica

L'energia relativistica totale è definita come^[3]^[4]

E=\gamma \,mc^{2}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}

dove:

$m$ è la massa a riposo della particella
$c$ è la velocità della luce
$\gamma$ è il fattore di Lorentz
$p=\gamma \,mv$ è la quantità di moto relativistica

L'energia totale è anche data dalla somma dell'energia a riposo $E_{0}=mc^{2}$ e dell'energia cinetica relativistica, da cui si ricava che quest'ultima è

K=E-E_{0}=\gamma \,mc^{2}-mc^{2}=\left(\gamma -1\right)mc^{2}

Per piccole velocità ( $v\ll c$ ) è approssimabile all'espressione classica dell'energia cinetica,

K={\frac {1}{2}}\,mv^{2}

.

Si può mostrare che le due forme concordano sviluppando $\gamma$ in serie di Taylor:

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}

.

Inserendolo nell'equazione originaria, si ottiene un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica:

K\simeq {\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}mc^{2}\simeq {\frac {1}{2}}\,mv^{2}

.

L'energia totale relativistica comprende anche l'energia a riposo del corpo (che dipende solo dalla massa a riposo), che non compare invece nella definizione classica dell'energia. L'espressione dell'energia cinetica relativistica è invece equivalente a quella classica per basse velocità v rispetto a c. Questo mostra come la relatività sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica, che rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.

NoteModifica

^ A. Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? [L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?], in Annalen der Physik, vol. 18, 1905, pp. 639-641. Traduzione italiana in A. Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Torino, Bollati Boringhieri, 1988, pp. 178-180.
^ Per inerzia si intende la resistenza di un corpo a mutare la propria accelerazione a per effetto di una forza esterna F. Con l'introduzione del concetto di massa invariante, la massa m non dipende più dalla velocità del corpo, come accadeva per la massa relativistica. Invece l'inerzia, definita ora come $\gamma \,m$ , risulta essere una funzione della velocità v tramite il fattore di Lorentz $\gamma$ .
^ ^a ^b (EN) Lev B. Okun, The concept of mass (PDF), in Physics Today, vol. 42, 1989, pp. 31-36.
^ ^a ^b Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica (PDF), in La Fisica nella Scuola, vol. 14, n. 25, 1981.